单位文秘网 2020-08-28 16:33:35 点击: 次
2018年吉林省长春市九台市石头口门水库学校高二数学文模拟试题
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程是(
)
A.ρ=2 B.θ= C.ρcosθ=2 D.ρsinθ=2
参考答案:
D
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理,再将结果转化成极坐标方程.
【解答】解:点(2,)在直角坐标系下的坐标为(2,2),即(0,2)
∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.
即为ρsinθ=2.
故答案选:D.
2. 直线与圆的位置关系是
A.相交 ? B.相切 C.相离 D.与值有关
参考答案:
D
略
3. 已知向量,满足,与的夹角为,则的值为 (? )
A. 1 B. ?C. D.
参考答案:
C
4. 在中,内角,,的对边分别是,,,若,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由正弦定理得
故选A
5. 已知实数列成等比数列,则( )
A ? ?B ? ?C ? D ?
参考答案:
C
6. 设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
略
7. 若不等式的解集为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 若为异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是 (? )
A.相交 B.异面 C.平行 ?D. 异面或相交
参考答案:
D
略
9. 曲线y=2x2﹣x在点(0,0)处的切线方程为(
)
A.x+y=0 B.x﹣y=0 C.x﹣y+2=0 D.x+y+2=0
参考答案:
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】欲求曲线y=2x2﹣x在点(0,0)处的切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:∵y=f(x)=2x2﹣x,
∴f'(x)=4x﹣1,当x=0时,f'(0)=﹣1得切线的斜率为﹣1,所以k=﹣1;
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为:
y﹣0=﹣(x﹣0),即x+y=0.
故选A.
10. 命题“若α=,则tanα=1”的否命题是(
)
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α=
参考答案:
A
【考点】四种命题.
【分析】根据若p,则q的否命题是若¬p,则¬q,从而得到答案.
【解答】解:命题“若α=,则tanα=1”的否命题是“若α≠,则tanα≠1”,
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列是等差数列,是其前n项和,已知,则 _____.
参考答案:
110
12. 如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中正确的有
.
(1)AC⊥AE;
(2)EF∥平面ABCD;
(3)三棱锥A﹣BEF的体积为定值:
(4)异面直线AE,BF所成的角为定值.
参考答案:
(2)(3)
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】由线面垂直证得两线垂直判断(1);
由线面平行的定义证得线面平行判断(2);
由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断(3);
由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值判断(4).
【解答】解:对于(1),由题意及图形知,AC⊥AE,故(1)不正确;
对于(2),由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF∥平面ABCD,故正确;
对于(3),由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到面DD1B1B,故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值,故正确;
对于(4),由图知,当F与B1重合时,与当E与D1重合时,异面直线AE、BF所成的角不相等,故不为定值,故错误.
∴正确命题的序号是(2)(3).
故答案为(2)(3).
【点评】本题考查棱柱的结构特征,解答本题关键是正确理解正方体的几何性质,且能根据这些几何特征,对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法,异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键,是中档题.
13. 设F为抛物线的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若,则 .
参考答案:
6
14. 设的夹角为;则等于______________.
参考答案:
略
15. 若命题“存在实数”是假命题,则实数a的取值范围为 。
参考答案:
略
16.
参考答案:
120. 解析:
17. 若五个数1、2、3、4、a的平均数为4,则这五个数的标准差为
.
参考答案:
【考点】极差、方差与标准差.
【专题】计算题;方程思想;定义法;概率与统计.
【分析】由五个数1、2、3、4、a的平均数为4,求出a=10,由此能求出这五个数的方差.
【解答】解:∵五个数1、2、3、4、a的平均数为4,
∴,
解得a=10,
∴这五个数的方差为S2= [(1﹣4)2+(2﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(10﹣4)2]=10,
这五个数的标准差为S=.
故答案为:.
【点评】本题考查标准差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、方差性质、计算公式的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
【专题】空间位置关系与距离;空间角.
【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;
(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos<,>|,即为所求正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,
因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,
又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,
又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,
可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),
则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),
设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,
可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,
故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.
【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属难题.
19. 已知函数
(I)若函数在点处的切线过点(-1,0),求实数a的值;
(II)已知函数的定义域为[0,+∞),若函数存在极值点,求实数a的取值范围.
参考答案:
(I)因为,
容易得函数在点处的切线;
因为过点,所以
(II)
因为函数在区间存在极值点
在有解得
经检验:排除
所以
20. (本小题满分12分)已知定点A(0,-1),点B在
圆上运动,为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P.
(1)求动点P的轨迹的方程;若曲线被轨迹包围着,求实数的最小值.
(2)已知、,动点在圆内,且满足,求的取值范围.
参考答案:
.解:(1)由题意得,∴
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆. ………………………3分
设椭圆方程为?,
则,
∴点的轨迹方程为?………………5分?
曲线化为,
则曲线是圆心在,半径为1的圆。
而轨迹E: 为焦点在y轴上的椭圆,
短轴上的顶点为结合它们的图像知:
若曲线被轨迹E包围着,则,
∴的最小值为?。………………………8分
(2)设,由得:,
化简得,即?,
而?…………10分
∵点在圆内,∴
∴,
∴,
∴的取值范围为.……………12分
21. (12分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,DE =2AB=2,且F是CD的中点。
?(Ⅰ)求证:AF//平面BCE;
(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE;
?(Ⅲ)设,当为何值时?使得平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为。
参考答案:
解:(I)取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=………1分
又AB//DE,且AB=∴AB//FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP。…………………2分
又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF//平面BCE ……………………………………………………3分
(II)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD,DE//AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,…………4分
∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE。
…………5分
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE。
…………………7分
(III)由(II),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别
为x,y,z轴(如图),建立空间直角坐标系F—xyz.
已知AC=2,则C(0,,0),……8分
…9分
显然,为平面ACD的法向量。………………………………10分
设平面BCE与平面ACD所成的二面角为
所以,当时,平面BCE与平面ACD所成的二面角为45°…………12分
略
22. (本小题满分12分)
关注NBA
不关注NBA
合 计
男 生
6
女 生
10
合 计
48
为了解某班学生关注NBA是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表:
已知在全班48人中随机抽取1人,抽到关注NBA的学生的概率为2/3
⑴请将上面列连表补充完整,并判断是否有的把握认为关注NBA与性别有关?
⑵现从女生中抽取2人进一步调查,设其中关注NBA的女生人数为X,求X的分布列与数学期望。
附:,其中
参考答案:
略
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