单位文秘网 2021-08-31 09:06:06 点击: 次
打开文本图片集
摘要:当球形颗粒的质量很小时,利用摄动理论,研究电流变液泊肃叶中球形颗粒的运动方程,得到了该运动方程的近似解。
关键词:泊肃叶流动;颗粒流;近似解
中图分类号:O175.8文献标识码:A文章编号:2095-7394(2014)04-0050-03
0引言
电流变液是一种智能材料,通常由高介电常数的颗粒分散在低介电常数的绝缘油中构成,其力学性能(黏度,剪切强度等)可以通过外加电场连续调控。泊肃叶流动(Poiseuille Flow)是电流变器件一种重要的工作方式,对电流变阻尼器,离合器,液压阀等器件的设计有很重要的指导意义,因而引起科技界的广泛重视。科学家们在连续介质的假定下,研究了电流变液泊肃叶流动;考虑多颗粒近程相互作用,利用等效平板电导模型,由分子动力学方法模拟了电流变液泊肃叶流动行为;用分子动力学模拟方法研究了电流变液泊肃叶流动;研究了在平板电导模型下的电流变液系统的流动问题,假设电流变液为一均匀分散的悬浮体,分散颗粒为球形,在电场及剪切流场作用下,得到了球形颗粒在泊肃叶流动的剪切应力作用下的运动方程
m=d2Ridt2=Feli-3πδηdRidt-γZiex+pi,i=1,2,…,n,
其中Ri表示第i个颗粒在时刻t时的位置,m是颗粒的质量,右端第一项Feli为作用在第i个颗粒上的静电力,第二项为Stokes黏滞剪切力,第三项是pi布朗力。
本文研究当球形颗粒的质量m=ε(0<ε1很小时的运动情况,利用摄动理论,给出了球形颗粒在泊肃叶流动的剪切应力作用下的运动方程的解的渐近行为。为了研究方便,将该问题数学化,令dRidt=Si(t),i=1,2,…,n,则球形颗粒在泊肃叶流动的剪切应力作用下的运动方程变为
εdSi(t)dt=-a0Si(t)+fi(t,R1,…,Rn),(1)
dRidt=Si(t),(2)
同时记下该组颗粒的初始位置及初始速度分别为
Ri(0)=R0i,Si(0)=S0i,-1ε,(3)
1理论分析
考虑方程组的无穷大初值问题(1)-(3).为此假设问题(1)-(3)的渐近表达式为
Ri=Rio(t)+εRi1(t))+…+π0Ri(τ)+επ1Ri(τ)+…,(4)
Si=Sio(t)+εSi1(t))+…+ε-1π-1Si(τ)+π0Si(τ)+…,(5)
其中τ=t/ε。
假设
[H1]假设函数fi(t,R1,…,Rn)(i=1,2,…,n)关于各个变量的偏导数连续。
由边界层函数法可得:
江苏理工学院学报第20卷
第4期
严静曹毅:电流变液泊肃叶流动中球形颗粒运动方程的近似解
-a0Sio+fi(t,R10,…,Rn0)=0,(6)
dRi0dt=Si0(t),(7)
dπ-1Sidτ=-a0π-1Si,(8)
dπ0Ridτ=π-1Si,(9)
Ri0(0)+π0Ri(0)=R0i,π-1Si(0)=S0i,-1,(10)
π0Ri(∞)=0,π-1Si(∞)=0,(11)
由方程(8)-(11),有
π-1Si=S0i,-1e-a0τ,π0Ri=S0i,-1-a0e-a0τ(12)
Ri0(0)=R0i+S0i,-1a0,(13)
将方程(6)代入方程(7),再结合(13)式,得到初值问题
dRi0dt=1a0fi(t,R10,…,Rn0,(14)
Ri0(0)=R0i+S0i,-1a0。(15)
假设
[H2]假设初值问题(14)-(15)在0≤t≤1上有解Ri0(t)。
结合(6)式,Si0(t)也就确定下来了。
到此为止,已经确定了{Ri0(t),Si0(t),π-1Si,π0Ri}(i=1,2,…,n),并有指数估计
π-1Si=Ce-κτ,π0Ri=Ce-κτ,(16)
其中C不依懒于ε。继续求{Ri1(t),Si1(t),π0Si,π1Ri}(i=1,2,…,n),它们满足下面方程组
dSi0(t)dt=-a0Si1(t)+∑nj=1fiRj(t,R10,…,Rn0)Rj1(t),(17)
dRi1(t)dt=Si1(t),(18)
dπ0Sidτ=-a0π0Si+fi(0,R10(0)+π0R1,…,Rn0(0)+π0Rn),(19)
dπ1Ridτ=π0Si(τ),(20)
π0Si(0)=-Si1(0),π1Ri(0)=-Ri1(0)。(21)
π1Ri(∞)=0,π0Si(∞)=0,(22)
由方程(20),(22)有
π1Ri=∫τ∞π0Si(r)dr,(23)
π1Ri(0)=∫0∞π0Si(r)dr,(24)
将(17)式代入(18),并结合(21),(24),得到初值问题
dRi1(t)dt=∑nj=1fiRj(t,R10,…,Rn0)Rj1(t)-dSio(t)dta0,(25)
Ri1(0)=∫∞0π0Si(r)dr,(26)
从初值问题(25)-(26)中可以确定出Ri1(t),结合(18)式,可以确定出Si1(t),Si1(0),进而由(21)式确定出π0si(0),考虑到π0Si满足(19)式,这样就将π0Si确定下来了,由(23)式可以确定出π1,Ri这样我们就确定了{Ri1(t),Si1(t),π0Si,π1Ri}(i=1,2,…,n)。
继续上面的做法,可逐次求出以后各项.为了说明问题,在此求出渐近解的前两项就够了。
2结论
定理在假设[H1]和[H2]下,则存在常数ε0>0,C>0,使得当0<ε<ε0时,问题(1)-(3)的解存在,并有余项估计
Ri(t,ε)-Ri0(t)-S0i,-1-a0e-a0tε≤Cε,i=1,2,…,n,
Si(t,ε)-Si0-1εS0i,-1e-a01ε-π0Si(tε≤Cε,i=1,2,…,n。
颗粒流动结构的动态和不均匀性包括随机特性是其最明显的特点,即流动定量分析和预测的难点.比较精确地估计颗粒运动的程度对进一步研究电流变液泊肃叶流动的规律,具有一定的理论意义和实用价值.只要记下一组颗粒的初始位置及初始状态,用上述结果,就可以很好地估计出运动程度的大小,从而得出相应运动的理论数值。
(责任编辑:单位文秘网) )地址:https://www.kgf8887.com/show-210-90613-1.html
版权声明:
本站由单位文秘网原创策划制作,欢迎订阅或转载,但请注明出处。违者必究。单位文秘网独家运营 版权所有 未经许可不得转载使用