单位文秘网 2021-07-27 08:18:09 点击: 次
摘要:本文研究了Vacco动力学与Gauss-Appell-Chetaev动力学理论基础;证明了Vacco动力学模型对于不同的数学形式但等价的约束,其约束力的规律是不变的;对各种约束——完整约束、线性非完整约束、非线性非完整约束,Vacco动力学理论处理的原则是协调一致。
关键词: Vacco动力学;协调性;不变性
中图分类号: O316文献标识码: A
Vacco动力学理论是前苏联莫斯科大学Козлов教授提出研究不可积分约束系统动力学的一种新型数学模型。它是基于广义Hamilton原理,将约束纳入,利用变分法导出的Euler方程。Vacco动力学理论和Gauss-Appell-Chetaev理论对完整系统的应用上是一致的,而对非完整系统其结论却相去甚远。本文研究Vacco动力学理论的一些基本性质,并证明该模型同样具有不变性和协调性。
1Vacco动力学模型
Vacco动力学和Gauss-Appell-Chetaev动力学理论最主要的差异在于两者不同的逻辑前提。非完整力学的逻辑前提包括三个方面,约束力学的性质(理想约束的假定)、理学系统的变分原理及约束对变分的限制条件。考虑由几个广义坐标qs(s=1,…,n)描述的有势系统。其Lagrange函数为L(qs ,qs ,t),系统受有g个一阶形式的非完整约束:
Vacco动力学理论基础为积分变分原理
状态变分满足约束条件
基于(6)和(7)可以得出受约束(1)的系统的运动微分方程
(s=1,…,n)(4)
其中Kβ为待定乘子。方程(4)为Vacco模型的动力学方程。
2Vacco动力学的不变性
引入新的坐标Qs,它们是原坐标qs的函数
Qs=ψs(q1,…,qn)(5)
设所研究的变换的函数行列式不等于零,即
于是存在逆变换
qs=φs(Q1,…,Qs) (6)
而Qs可作广义坐标。在(6)变换下,广义速度qs广义速度Qs的线性式。对(6)求导,
其中
仅为广义坐标Qs的函数。同理,广义速度Qs也是qs的线形式。
在(6)变换下,(1)和Lagrange函数分别成为
因此,有
对(11)求导,结合(10),有
下面计算(12)右边第二项,同时考虑(6.2.15),则有
将(13)代入(12),得
同样
将(13)代入(15),得
由(14)和(15)并结合(4),得
因此,对于Vacco动力学,当约束组用不同但等价数学形式表达时,其约束力规律是一致的,即具有不变性。
3Vacco动力学的协调性
设有与(1)式等价的g个彼此独立的1阶约束
则存在函数Hα,使得
hα=Hα(f1,…,fn)(19)
因此有
从而知满足约束条件状态变分也满足
同理可知满足约束条件的状态变分也满足式(3)。
在考虑约束组(1)中有若干个方程是可积的,即存在函数Fi(qs ,t)使得
采用dδ交换关系的Holder定义,我们有
注意到δqs(t=0)=0 ,由(22)知(3)成立。当且仅当
因此,Vacco动力学对于完整系统和非完整系统的处理原则是一样的,即具有协调性。
4结论
Vacco动力学理论对于有不同的数学形式但等价的约束,其约束力的规律是不变的,即,具有不变性;对各种约束——完整约束、线性非完整约束、非线性非完整约束,Vacco动力学理论处理的原则是协调一致的,即,具有协调性。
参考文献:
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[5]陈滨.分析动力学.北京:北京大学出版社,1987.
基金项目:国家自然基金资助项目(10772026)河南省教育厅自然基金(2008A130002)
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