单位文秘网 2020-08-29 16:36:42 点击: 次
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模块: 三、函数(二)
课题: 1、二次函数与方程、不等式
教学目标 : 二次函数与一元二次方程的联系
重难点 : 二次函数零点的分布
一、 知识要点
1、二次函数解析式的表示法
(1)一般式
2 0
f x ax bx c a;
(2)顶点式
2 0
f x a x m n a;
(3)两根式
f x a x x1 x x2 a 0 .
2、二次函数的最值
核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为: 对称轴在区间的左
边,中间,右边三种情况.
2 0 ,求 f (x) 在 x [m,n] 上的最大值与最小值.设 f (x) ax bx c(a )
分析:将 f (x) 配方,得对称轴方程 x
1)当 a 0时,抛物线开口向上
b
2a
若
b
2a
[m,n] ,则必在顶点取得最小值, 离对称轴较远端点处取得最大值;
若
b
2a
[m,n] ,此时函数在 [m,n]上具有单调性, 故在离对称轴 x
b
2a
较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
2)当 a 0时,同上.
综上,对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下:
当a 0时: f ( x)max
b 1
f ( m), (m n)( )
1
如图
2a 2
b 1
f n m n
( ), ( )( )
如图
2
2a 2
b
f (n), n(如图 3)
2a
b b
f (x) f ( ) m n( )
, 如图 4 min
2a 2a
b
f (m) m( )
, 如图5
2a
当 a 0时:
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b
f (n) n( )
, 6
如图
2a
b b
如图
7 max
2a 2a
b
f m , m 8
( ) ( )
如图
2a
f (x)
min
b 1
f (m) (m n)( )
, 9
如图
2a 2
b 1
f n m n
( ), ( )( )
如图
10
2a 2
3、二次函数的零点
零点的定义 :一般地,如果函数 y f x 在实数 a 处的值等于 0,即 f a 0,则 a
叫做这个函数的零点. 对于函数的图像, 零点也就是这个函数的图像与 x 轴的交点的横坐标.
二次函数的零点性质 :
1、二次函数的图像是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号.
2、相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
3、方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图像与 x 轴有交点 函数
f x 0有零点.
解题方法 :1、方程的根、函数图像与 x 轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个
问题的三种不同的表现形式. 例如求方程根的个数, 就是看对应的函数图像与 x 轴有几个交
点.反过来求函数的零点个数,则可以看方程有几个实数根.
2、函数零点的存在性的判断方法是本节的重点和难点,它指出了函数零点的一种寻找
方法. 对于连续不断的函数,只需找到一个区间, 使区间两端点的函数值异号,就可确定在
此区间内至少有一个零点.即 f a f b 0 a b ,则 f x 在 a,b 上有一个零点.
二次函数
2 , 0
f x ax bx c a 根(零点)分布解题分析的 4 个步骤(按顺序讨
论):
1、函数图像开口方向: a 的正负
2、函数特殊节点的取值正负: (一般为题中给出的区间的端点)
3、 的正负:(当 a 0时,若有
f x0 0,则不需要讨论 以及下一步对称轴)
4、对称轴与区间的关系:
x
b
2a
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二、 例题精讲
例 1、已知二次函数 f x 满足 f 2 x f 2 x ,图像顶点为 A,其图像与 x 轴
交于 B 1,0 和C 点,且 ABC的面积为 18,试确定此二次函数.
答案:
2
2
f x x 2 或
3
2
f x x
3
2
2 6
例 2、已知函数
2 2 tan 1, 1, 3
f x x x x ,其中 ,
2 2
,
(1) 当
6
时,求函数 f x 的最大值和最小值;
(2) 求 的取值范围,使 y f x 在区间 1, 3 上是单调函数.
答案:(1)
2 3
f x;
max
3
4
f x;
min
3
(2) , ,
2 3 4 2
.
例 3、函数
2 3
f x x ax ,
(1) 当 x R时, f x a 恒成立,求 a 的范围;
(2) 当 x 2,2 时, f x a恒成立,求 a 的范围.
答案:(1) 6 a 2;(2) a 7,2 .
例 4、(1)已知: , 是方程
2 2 1 4 2 0
x m x m 的两个根,且 2 ,
求 m 的取值范围;
(2)若
2 2 0
x ax 的两根都小于 1,求 a 的取值范围.
答案:(1) m 3;(2)2 2 a 3.
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例 5、设函数
f x
2 0 ,
x bx c x
2 x 0
,若 f 4 f 0 , f 2 2,求关
于 x 的方程 f x x的解的个数.
答案: 3 个.
例 6、(1)若函数
x
f x a x a(a 0且 a 1)有两个零点,则实数 a 的取值范
围是 .
x
(2)函数 f x 2 3x的零点所在的一个区间是( )
A、 2, 1 B、 1, 0 C、 0,1 D、 1,2
x
(3)若函数 f x 的零点与 g x 4 2x 2的零点之差的绝对值不超过 0.25,则
f x 可以是( )
2
A、 f x 4x 1 B、 f x x 1
x
C、 f x e 1 D、
f x ln x
1
2
答案:(1) a 1(2)B(3) A
例 7、函数
2 0
f x ax bx c a 的图像关于直线
x
b
2a
对称,据此可推测,
对任意的非零实数 a,b,c ,m, n, p ,关于 x 的方程
2
m f x nf x p 0 的解集都
不可能是( )
A、 1, 2 B、 1, 4 C、 1,2,3,4 D、 1,4,16,64
答案: D
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*例 8、已知函数
2
x 10
f x x
x 10
10
,
(1)求 f x 的反函数;
(2)如果不等式
1
1 x f x m m x 对于
1 1
,
9 4
上的每一个 x 的值都成立,
求实数 m 的取值范围;
(3)设
g x
1 x 2
1
f x
10
,求函数 y g x 的最小值及相应的 x 的值.
答案:(1)
1 10 1 x
f x 0 x 1
1 x
;
(2)
1 481 1 481
m;
6 6
(3)
2
g x g 3 2 2 .
min
5
三、 课堂练习
1、二次方程
2 2 1 0
x kx k 的两个根 x1与 x2 ,当 2 x1 1且1 x2 2 时,实数 k
的取值范围是 .
答案:
3
4
,0
2、已知函数
2 2 3
f x x x 在区间 0,a a 0 上的最大值为 3,最小值为 2,那么实
数 a 的取值范围是 .
答案: 1 a 2
3、已知
2 0
x bx c 的解集
1
2
,1
,则 b c .
答案: 0
4、已知二次函数
2 2
f x 4x 2 p 2 x 2p p 1,若在区间 1,1 内至少存在一个
实数 c ,使 f c 0,则实数 p 的取值范围为 .
答案:
3,
3
2
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5、若函数
2
f x x ax b的两个零点是 2 和 3,则函数
2 1
g x bx ax 的零点
是 .
答案:
1 1
,
2 3
四、 课后作业
一、填空题
1、已知二次函数的图像经过点 0,1 ,当 x 2时,函数的最小值为 3,则函数的解析式
为 .
答案:
2 4 1
y x x
2、已知 , 是 x 的二次方程
2 2 6 0
x ax a 的两实数根,则
2 2
1 1 的最
小值为 .
答案: 8
3、将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积
之和最小,正方形的周长应为 .
4
答案:
4
4、若 x 0, y 0,且 x 2y 1,则
2
2x 3y 的值域为 .
答案:
3
4
, 2
5、当 x 1,2 时,不等式
2 4 0
x mx 恒成立,则 m 的取值范围是 .
答案: , 5
6、关于 x的实系数方程
2 2 0
x ax b 的一根在区间 0,1 上,另一根在区间 1,2 上,则
2a 3b的最大值为 .
答案: 9
二、选择题
7、关于 x 的不等式
2 1 2 1 1 0
a x a x 恒成立,则 a 的取值范围是( )
A、
3
a 或 a 1 B、
5
3
5
a
1
C、
3
5
a 1或 a 1 D、以上均不对
答案: B
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8、若函数
2
f x ax bx c满足 f 4 f 1 ,那么( )
A、 f 2 f 3 B、 f 3 f 2
C、 f 3 f 2 D、 f 3 与 f 2 大小不能确定
答案: C
9、函数
2
y ax bx c的图像经过四个象限的充要条件是( )
b
A、a 0且 f 0
2a
B、a 0且
2 4 0
b ac
C、 a 0且 b 0 D、a f 0 0
答案: D
三、解答题
10、已知函数
2 2
f x 4x 4ax a 2a 2在区间 0,2 上有最小值 3,求 a 的值.
答案: a 1 2 或 a 5 10
11 、 已 知 函 数
2 8
f x ax b x a ab , 当 x 3 , 2 时 , f x 0; 当
x , 3 2 , 时, f x 0.
(1)求 f x 在 0,1 内的值域;
(2)c 为何值时,
2 0
ax bx c 的解集为 R.
答案:(1) 12,18;(2)
c
25
12
12、设函数
2 2 2
f x ax x ,对于满足 1 x 4的一切 x 值都有 f x 0 ,求实数 a
的取值范围.
答案:
a
1
2
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