单位文秘网 2021-07-21 08:23:53 点击: 次
Application of Computer Forecast and Decision Based on Markov Analysis
Lv Yan
(Yingkou Vocational & Technical College,Yingkou 115000,China)
摘要: 从DSS应用现状出发,介绍了马尔柯夫分析的定义和数学原理,阐述了马尔柯夫分析的过程和预测的基本步骤,利用Excel设计了进行市场占有率预测的应用模型,并进行了仿真预测和决策分析。测试表明,应用模型简便通用,操作方便,提高了预测的计算精度和效率。
Abstract: Starting from the DSS application status, it describes the Markov analysis"s definition and mathematical principles, expounds the Markov process and forecast steps. It designs an application model of forecasting Market Shares by Excel. Through the simulated forecasts and decision analysis, it shows that the application model is simple and general, easy to operate, it also improves calculation"s accuracy and efficiency.
关键词: 马尔柯夫 预测 概率 转移矩阵 市场占有率
Key words: Markov; forecast; probability; transition matrix;Market Shares
中图分类号:TP39 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2011)14-0196-02
0引言
随着信息技术的发展,计算机以其卓越的性能在科学技术、国民经济和社会生活各个领域得到广泛的应用。20世纪70年代,在管理信息系统(Management Information Systems,MIS)基础上出现了决策支持系统(Decision Support Systems,DSS),DSS是以计算机为主要手段,综合了管理科学与工程、计算机科学、统计学和运筹学等多学科理论和方法,以支持决策过程为目标的信息处理系统。MIS和DSS的产生与发展使计算机应用从工程技术、自然科学等领域向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等领域渗透。
DSS是面向组织的管理层,侧重于应用模型化的数量分析方法,通过对组织内部、外部数据的分析,挖掘信息内在的规律和特征,以易于理解和使用的方式为管理层提供决策信息。但是,由于管理决策问题的复杂型,现有决策系统大多是面向某类决策问题,如经济分析、人口分析、流量分析等,在实际的管理应用中,DSS只能以某种形式“嵌入”到已建立的信息系统中。基于此,本文给出了基于马尔柯夫分析模型的计算机预测和决策应用,利用Excel2007提供的线性规划功能,简化了手工预测中的大量烦琐计算,提高了预测工作的效率和数据的准确性,具有一定的应用价值。
1马尔柯夫分析的基本原理
1.1 马尔柯夫分析的定义马尔柯夫分析是以俄国数学家A.马尔柯夫(A.Markov)命名的一种预测模型。早在1907年,马尔柯夫经多次试验研究发现:在某些随机事件的转移过程中,第n次试验结果取决于第n-1次试验结果,而与更早的试验结果无关。对于由一种情况转换至另一种情况的过程若具有转换概率,而且此转换概率又可以依据其前项情况推算出来,这种过程称为马尔柯夫过程,一连串的此种转换过程称为马尔柯夫链。对马尔柯夫过程或马尔柯夫链进行分析,观察和预测该过程或链未来变化趋势的工作称为马尔柯夫分析。马尔柯夫分析作为预测技术广泛应用于各个领域,如产品销售状态、市场占有率、设备更新成本、交通运输流量、最佳服务地点选择、人口分布和人才拥有量预测等等。
1.2 马尔柯夫分析的数学原理
定义1:任意向量U=(ui),若各元素都为非负数,且元素总和为1,则此向量U称为概率向量。
定义2:任意矩阵P=(pij),若各行均为概率向量,则此方阵称为概率矩阵。
1.3 马尔柯夫分析过程马尔柯夫分析过程是一概率过程,其转移概率就是过去若干个状态下的概率向量。假定研究系统S有互不相容的n个状态,每隔一定时间状态变更一次,如果在ti时刻系统处于状态Ai(i=1,2,3,…,n),在下一时刻ti+1呈现出状态Aj(j=1,2,3,…,n)的概率只与ti时刻有关,而与ti以前的状态无关,利用条件概率可记为:
Pij=P(i→j)=P[Aj,ti+1│Ai,ti](0≤Pij≤1,∑Pij=1)(1)
Pij(i,j=1,2,3,…,n)称为系统S的马尔柯夫链转移概率,由转移概率Pij构成的矩阵称为系统S的状态转移矩阵,也叫做马尔柯夫链的转移矩阵,即:P=P■P■…P■P■P■…P■ ┆┆┆┆P■P■…P■(2)
基于马尔柯夫分析的预测就是利用转移矩阵对系统发展趋势进行分析的过程。
2马尔柯夫预测的基本步骤
Step 1:划分预测对象基本状态。从预测目标出发,根据过去出现的基本状态,通过定性与定量分析,确定未来可能出现的状态。
Step 2:计算初始概率。分析历史数据,确定预测对象初始状态的概率向量S0。
S■=[S■■,S■■,…,S■■] (n为系统可能存在相互独立的状态数)(3)
Step 3:确定一步状态转移概率矩阵。根据收集数据,采取统计估算或主观估计法,计算状态转移概率,将所有的状态转移概率依次排列起来,确定一步状态转移概率矩阵P,如(2)式。
Step 4:预测k次转移后的状态。根据马尔柯夫链具有无后效性特征,经k次转移后,对象处于状态i的概率为S■,由S■=S■·P ,递推可得 S■=S■·P■(4)
Step 5:预测稳定状态。根据马尔柯夫链具有遍历性特征,系统状态经历多步转移后将逐渐达到稳定状态,且与初始状态无关,即S■=S■,又S■=S■·P,得稳态概率模型为:
S■=S■·P(5)
3马尔柯夫预测法在市场占有率预测中的应用
市场占有率又称市场份额(Market Shares),是指一个企业的销售量(或销售额)在市场同类产品中所占的比重,它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力,是企业非常重视的一个指标。在市场经济条件下,竞争日趋激烈,了解市场动态、掌握商品的市场占有率,对企业发展有着至关重要作用。
例:有A、B、C三家公司同时向市场投入一种轮胎,假设三家公司初期市场占有份额相等。但在第二年中,市场份额发生了如下变化:A公司保持其客户的80%,5%客户流失到B公司,15%客户流失到C公司;B公司保持其客户的90%,10%客户流失到A公司;C公司保持其客户的60%,20%客户流失到A公司,20%客户流失到B公司。
预测三家公司未来一年及市场达到稳定状态时的市场占有率。
3.1 建立数学模型根据题意,系统中研究的客户状态可划分为保持、流失和争取3种。三家公司初期市场占有率(即预测对象初始状态的概率向量)S1=[1/3,1/3,1/3],三家公司客户转移情况见表1。
由表1可知,表中每行表明各公司保留客户和流失客户的百分比,表中每列表明各公司保留客户和争取客户的百分比,由此得到客户状态转移矩阵:P=80% 5% 15%10%90%020%20% 60%(6)
根据(4)式,第二年各公司市场占有率是:
S■=S■·P[1/31/31/3]80% 5% 15%10%90%020%20% 60%(7)
如果客户流动按照这个趋势不变,经过若干年,各公司市场占有率趋于稳定,与期初市场占有率无关,根据(5)式,达到稳定状态时St=P·St,即[t■ t■ t■]80% 5% 15%10%90%020%20% 60%[t■ t■ t■](8)
3.2 应用计算机预测Excel 2007中的“规划求解”命令可以用来解决线性规划与非线性规划优化问题,借助“规划求解”命令可实现基于马尔柯夫分析模型的预测计算。
3.2.1 加载“规划求解”命令在Excel 2007窗口中,单击【开始】→【Excel 选项】按钮,打开【Excel 选项】对话框,选择【加载项】选项卡,从【管理】列表中选择“excel加载项”,单击【转到】按钮,打开【规划求解】对话框,选中“规划求解加载项”,单击【确定】按钮,则在窗口【数据】选项卡【分析】组中加载了【规划求解】命令。
3.2.2 数学模型的计算机转换和计算①预测一次转移状态市场占有率。启动Excel2007,建立“市场占有率预测”表;根据(6)式,将状态将转移矩阵中的各元素置于B4:D6区域,初期市场占有率S1置于E4:E6区域,在E7单元格输入“=SUM(E4:E6)”,结果为“1”,如图1所示。
应用SUMPRODUCT函数求解一步转移矩阵向量,预测第二年市场占有率。在B7-D7单元格依次输入:
B7:“=SUMPRODUCT(B4:B6,E4:E6)”;C7:“=SUMPRODUCT(C4:C6,E4:E6) ”;D7:“=SUMPRODUCT(D4:D6,E4:E6)”。
第二年市场占有率的预测结果:S2=[36.7%,38.3%,25.0%],如图2所示。
②预测稳定状态市场占有率。在图2基础上,重新输入E2和A7单元格内容,清除E4:E6区域数据,建立“稳态市场占有率”表,如图3所示。
应用“规划求解”命令预测稳定状态市场占有率。选择【数据】选项卡,单击【数据】→【规划求解】命令,打开【规划求解参数】对话框,进行参数设置,如图4所示。
设置目标单元格为E7,选定“值”,输入值为“1”;
设置可变单元格为E4:E6;
设置约束为﹩B﹩7=﹩E﹩4、﹩C﹩7=﹩E﹩5、﹩D﹩7=﹩E﹩6;
单击【选项】按钮,打开【规划求解选项】对话框,选中“采用线性模型”和“假定非负”复选框,其它默认;
在【规划求解参数】对话框中,单击【求解】按钮,得到稳定状态市场占有率:St =[38.1%,47.6%,14.3%],如图5所示。
求解结束后,打开【规划求解结果】对话框,如图6所示。选中“保存规划求解结果”单选按钮,选择“运算结果报告”,单击【保存方案】按钮,运算结果报告将以工作表形式保存在同一文件中,见表2。
3.3 结果分析基于马尔柯夫分析模型进行市场占有率的预测解决了两个问题,一是预测某一特定时期的市场占有率,二是预测最终占有率,其最终目的是为经营决策提供依据。以C公司为例,当市场趋于稳定时,其仅占市场份额的14.3%。因此,C公司为了争取市场可以采取两种策略:一是保留策略,二是争取策略。
保留策略就是通过提高产品质量、提供良好售后服务等措施尽力保留原有客户,减少客户流失。若C公司流失到A、B公司的客户各减少10%,通过预测可得C公司稳态市场占有率为25%,提高了9.7%,如图7所示。争取策略就是通过加大宣传、降低价格等措施积极争取其他公司客户。若C公司能从A、B公司争取到的客户在原有基础上提高10%,通过预测C公司稳态市场占有率为29.7%,提高了15.6%,如图8所示。
由上可知,采取争取措施的稳态市场占有率略高保留策略,在实际决策中采取哪种策略还要综合考虑成本等因素,也可综合运用两种策略。
4结论
利用Excel 2007中的SUMPRODUCT 函数和“规划求解”命令可以解决基于马尔柯夫模型预测的计算问题,本文设计的表格简便通用,提高了基于马尔柯夫模型预测的计算精度和效率。在实际应用中,本文设计的表格除了可以在预测过程中使用外,在决策分析过程中,通过修改表格中的参数,即可提供决策参考信息,也可通过增加参数项解决马尔柯夫分析模型在其他领域中预测和决策的计算问题。
参考文献:
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[4]吕岩.马尔柯夫分析模型在计算机预测系统中的应用[J].航空计算技术,2003(2):52-54.
[5]郁菁.马尔柯夫预测法与Excel[J].重庆职业技术学院学报,2007(4):158-159.
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