单位文秘网 2020-09-09 10:29:51 点击: 次
一.选择题(共12小题)
1.﹣的倒数是(
)
A. B. C. D.
2.下面四个图形分别是低碳、节水、绿色食品和节能标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是(
)
A. B. C. D.
3.新型冠状病毒的平均直径约为0,用科学记数法表示该数据为(
)
A.1.2×10﹣8 B.1.2×10﹣7 C.12×10﹣8 D.1.2×107
4.下列式子中,为最简二次根式的是(
)
A. B. C. D.
5.端午节期间,某商场搞优惠促销活动,其活动内容是:“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者,超过100元的部分按8折优惠”.在此活动中,李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x(x>2)件,则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是(
)
A.y=48x B.y=48x+20 C.y=48x﹣80 D.y=48x+40
6.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致如图(
)
A. B.
C. D.
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(
)
A. B.
C. D.
8.高坪区今年有近6千名考生参加中考,为了解本次中考的数学成绩,从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是(
)
A.总体是全区近6千名考生
B.样本是被抽取的100名考生
C.个体是每位考生的数学成绩
D.样本容量是100名考生的数学成绩
9.下列命题中,真命题的个数有(
)
①对角线互相平分的四边形是平行四边形;
②对角线相等的四边形是矩形;
③对角线互相垂直的四边形是菱形;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图,分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S1+S2=36,则S3=(
)
A.25 B.36 C.40 D.49
11.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程(
)
A.2.25%(1﹣2x)=1.21% B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25% D.2.25%(1﹣x)2=1.21%
12.已知某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,下列结论中正确的有(
)
①abc<0;②a﹣b+c<0; ③a=﹣;④8a+c>0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共4小题)
13.已知一组数据﹣3,﹣2,x,1,3,6的中位数是1,则其众数为 .
14.若方程x2﹣3x﹣4=0的两个根分别为x1和x2,则= .
15.若一个扇形的弧长是2πcm,面积是6πcm2,则扇形的圆心角是 度.
16.已知函数y=﹣x2+2x+1,当﹣1≤x≤a时,函数的最大值是2,则实数a的取值范围是 .
三.解答题
17.计算:(π﹣3.14)0﹣+()﹣1+|﹣1|.
18.先化简再求值:m﹣1+,其中m是不等式2(5m+3)≥m﹣3(1﹣2m)的一个负整数解.
19.如图,在?ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接AE交CD于点F,连接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的长.
20.在2020年新冠病毒爆发期间,某校为了解学生防疫的安全意识,在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查.根据调查结果,将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了
名学生,请将条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,“很强”层次所占圆心角的大小为
°.
(3)若该校共有3500名学生,现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育,根据调查结果,请你估计全校需要强化安全教育的学生人数.
21.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
22.某商场销售某种型号防护面罩,进货价为40元/个.经市场销售发现:售价为50元/个时,每周可以售出100个,若每涨价1元,就会少售出5个.供货厂家规定市场售价不得低于50元/个,且商场每周销售数量不得少于80个.
(1)确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w(元)与售价x(元/个)之间的函数关系式.
(2)当售价x(元/个)定为多少时,商场每周销售这种防护面罩所得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
24.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(m+1,0)、B(0,m)(m>0),以AB为直径画圆⊙P,点C为⊙P上一动点,
(1)判断坐标原点O是否在⊙P上,并说明理由;
(2)若点C在第一象限,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接BC、AC,且∠BCD=∠BAC,①求证:CD与⊙P相切;②当m=3时,求线段BC的长;
(3)若点C是的中点,试问随着m的变化点C的坐标是否发生变化,若不变,求出点C的坐标;若变化,请说明理由.
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级(上)开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.﹣的倒数是(
)
A. B. C. D.
【分析】求一个数的倒数,即1除以这个数即可.
【解答】解:﹣的倒数是.
故选:B.
2.下面四个图形分别是低碳、节水、绿色食品和节能标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是(
)
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、是轴对称图形,故此选项符合题意;
D、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
故选:C.
3.新型冠状病毒的平均直径约为0,用科学记数法表示该数据为(
)
A.1.2×10﹣8 B.1.2×10﹣7 C.12×10﹣8 D.1.2×107
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:01.2×10﹣7.
故选:B.
4.下列式子中,为最简二次根式的是(
)
A. B. C. D.
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.
【解答】解:A、=,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
B、是最简二次根式,故本选项符合题意;
C、=2,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
D、=4,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
故选:B.
5.端午节期间,某商场搞优惠促销活动,其活动内容是:“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者,超过100元的部分按8折优惠”.在此活动中,李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x(x>2)件,则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是(
)
A.y=48x B.y=48x+20 C.y=48x﹣80 D.y=48x+40
【分析】根据已知表示出买x件礼盒的总钱数以及优惠后价格,进而得出等式即可.
【解答】解:∵凡在该商店一次性购物超过 100元者,超过100元的部分按8折优惠,李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x(x>2)件,
∴李明应付货款y(元)与办公用品件数x(件)的函数关系式是:y=(60x﹣100)×0.8+100=48x+20(x>2),
故选:B.
6.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致如图(
)
A. B.
C. D.
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案.
【解答】解:由一次函数解析式为:y=kx+2可知,图象应该与y轴交在正半轴上,故A、B、C错误;
D符合题意;
故选:D.
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(
)
A. B.
C. D.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可.
【解答】解:,
由①得:x≤2,
由②得:x>﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1<x≤2,
.
故选:A.
8.高坪区今年有近6千名考生参加中考,为了解本次中考的数学成绩,从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是(
)
A.总体是全区近6千名考生
B.样本是被抽取的100名考生
C.个体是每位考生的数学成绩
D.样本容量是100名考生的数学成绩
【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.
【解答】解:A.总体是全区近6千名考生的中考的数学成绩,故本选项不合题意;
B.样本是被抽取的100名考生的中考的数学成绩,故本选项不合题意;
C.个体是每位考生的数学成绩,故本选项符合题意;
D.样本容量是100,故本选项不合题意.
故选:C.
9.下列命题中,真命题的个数有(
)
①对角线互相平分的四边形是平行四边形;
②对角线相等的四边形是矩形;
③对角线互相垂直的四边形是菱形;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定和直角三角形的性质判断即可.
【解答】解:①对角线互相平分的四边形是平行四边形,是真命题;
②对角线相等且平分的四边形是矩形,原命题是假命题;
③对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,原命题是假命题;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,是真命题.
故选:B.
10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图,分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S1+S2=36,则S3=(
)
A.25 B.36 C.40 D.49
【分析】由正方形的面积公式可知S1=AB2,S2=AC2,S3=BC2,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+AB2=BC2,即S1+S2=S3,由此可求S3.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,
又由正方形面积公式得S1=AB2,S2=AC2,S3=BC2,
∴S3=S1+S2=36.
故选:B.
11.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程(
)
A.2.25%(1﹣2x)=1.21% B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25% D.2.25%(1﹣x)2=1.21%
【分析】等量关系:经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%.
【解答】解:经过一次降息,是2.25%(1﹣x),
经过两次降息,是2.25%(1﹣x)2,
则有方程2.25%(1﹣x)2=1.21%.
故选:D.
12.已知某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,下列结论中正确的有(
)
①abc<0;②a﹣b+c<0; ③a=﹣;④8a+c>0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:①函数的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c<0,则abc>0,故①错误;
②函数的对称轴为x=1,函数和x轴的一个交点是(3,0),则另外一个交点为(﹣1,0),
当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,故②错误;
③函数的对称轴为x=﹣=1,即a=﹣b,故③错误;
④由②③得,b=﹣2a,a﹣b+c=0,故3a+c=0,而a>0,即5a>0,故8a+c>0,故④正确;
故选:A.
二.填空题(共4小题)
13.已知一组数据﹣3,﹣2,x,1,3,6的中位数是1,则其众数为 1 .
【分析】根据中位数的定义,当数据有偶数个时,中位数即是正中间两个数的平均数,继而得出x的值,再根据众数的定义即可求解.
【解答】解:∵数据个数是偶数个,且中位数为1,
∴x=1,
则其众数为1.
故答案为:1.
14.若方程x2﹣3x﹣4=0的两个根分别为x1和x2,则= ﹣ .
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=﹣4,再通分得到+=,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:根据题意得x1+x2=3,x1x2=﹣4,
所以+===﹣.
故答案为﹣.
15.若一个扇形的弧长是2πcm,面积是6πcm2,则扇形的圆心角是 60 度.
【分析】根据扇形的面积公式求出半径,然后根据弧长公式求出圆心角即可.
【解答】解:设圆心角都度数为n度,
扇形的面积==6π,
解得:r=6,
又∵=2π,
∴n=60.
故答案为:60.
16.已知函数y=﹣x2+2x+1,当﹣1≤x≤a时,函数的最大值是2,则实数a的取值范围是 a≥1 .
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质,可以求得a的取值范围,本题得以解决.
【解答】解:∵函数y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2,当﹣1≤x≤a时,函数的最大值是2,
∴当x=1时,函数取得最大值,此时y=2,
∴a≥1,
故答案为:a≥1.
三.解答题
17.计算:(π﹣3.14)0﹣+()﹣1+|﹣1|.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂.
【专题】511:实数;66:运算能力.
【答案】.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质等知识分别化简得出答案.
【解答】解:原式=1﹣2+2+﹣1
=.
18.先化简再求值:m﹣1+,其中m是不等式2(5m+3)≥m﹣3(1﹣2m)的一个负整数解.
【考点】6D:分式的化简求值;C7:一元一次不等式的整数解.
【专题】513:分式;524:一元一次不等式(组)及应用;66:运算能力.
【答案】,﹣4.
【分析】原式利用除法法则变形,约分后进行通分计算得到最简结果,求出不等式的解集确定出负整数解m的值,代入计算即可求出值
【解答】解:
=
=
=
=.
2(5m+3)≥m﹣3(1﹣2m),
10m+6≥m﹣3+6m,
10m﹣6m﹣m≥﹣3﹣6,
3m≥﹣9,
m≥﹣3,
∴m=﹣1或﹣2或﹣3.
∵当m=﹣1时或m=﹣3时,分式无意义,
∴m只能等于﹣2.
当m=﹣2时,原式=.
19.如图,在?ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接AE交CD于点F,连接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的长.
【考点】KM:等边三角形的判定与性质;LD:矩形的判定与性质.
【专题】14:证明题;556:矩形 菱形 正方形;66:运算能力;67:推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC.所以∠CAD=∠ACB=90°.又∠ACE=90°,即可证明四边形ACED是矩形;
(2)根据四边形ACED是矩形,和四边形ABCD是平行四边形,可以证明△ABE是等边三角形.再根据特殊角三角函数即可求出BF的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠CAD=∠ACB=90°.
又∵∠ACE=90°,DE⊥BC,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:∵四边形ACED是矩形,
∴AD=CE=2,AF=EF,AE=CD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=2,AB=CD.
∴AB=AE.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABE是等边三角形.
∴∠BFE=90°,.
在Rt△BFE中,.
20.在2020年新冠病毒爆发期间,某校为了解学生防疫的安全意识,在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查.根据调查结果,将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了
名学生,请将条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,“很强”层次所占圆心角的大小为
°.
(3)若该校共有3500名学生,现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育,根据调查结果,请你估计全校需要强化安全教育的学生人数.
【考点】V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.
【专题】542:统计的应用;66:运算能力.
【答案】(1)300;
(2)162;
(3)875.
【分析】(1)由安全意识为“一般”的学生数除以所占的百分比得到抽取学生总数,再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数,得出安全意识为“较强”的学生数,补全条形统计图即可;
(2)用360°乘以安全意识为“很强”的学生占的百分比即可;
(3)由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和,乘以3500即可得到结果.
【解答】解:(1)本次调查一共抽取的学生数是:45÷15%=300(名);
安全意识为“较强”的学生数是:300﹣30﹣45﹣135=90(人).
补全条形图如下:
故答案为:300;
(2)“很强”层次所占圆心角的大小为:360°×=162°.
故答案为:162;
(3)根据题意得:3500×=875(人),
则全校需要强化安全教育的学生人数有875人.
21.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【考点】KH:等腰三角形的性质;MD:切线的判定;MO:扇形面积的计算;T5:特殊角的三角函数值.
【专题】121:几何图形问题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)连接OC.只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;
(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.
【解答】(1)证明:连接OC.
∵AC=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC,
∴∠2=∠A=30°.
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°.即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:∵∠A=30°,
∴∠1=2∠A=60°.
∴S扇形BOC=.
在Rt△OCD中,
∵,
∴.
∴.
∴图中阴影部分的面积为: .
22.某商场销售某种型号防护面罩,进货价为40元/个.经市场销售发现:售价为50元/个时,每周可以售出100个,若每涨价1元,就会少售出5个.供货厂家规定市场售价不得低于50元/个,且商场每周销售数量不得少于80个.
(1)确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w(元)与售价x(元/个)之间的函数关系式.
(2)当售价x(元/个)定为多少时,商场每周销售这种防护面罩所得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】536:二次函数的应用;69:应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式,由供货厂家规定市场价不得低于30元/个,且商场每周完成不少于80个的销售任务可以确定x的取值范围;
(2)根据第(1)问中的函数解析式和x的取值范围,根据二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,得w=(x﹣40)[100﹣5(x﹣50)]=(x﹣40)(350﹣5x)=﹣5x2+550x﹣14000,
因此,利润与售价之间的函数关系式为w=﹣5x2+550x﹣14000,
(2)∵销售量不得少于80个,
∴100﹣5(x﹣50)≥80,
∴x≤54,
∵x≥50,
∴50≤x≤54,
∵w=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5(x﹣55)2+1125,
∵a=﹣5<0,开口向下,对称轴为直线x=55,
∴当50≤x≤54时,w随着x的增大而增大,
∴当x=54时,
w最大值=﹣5(54﹣55)2+1125=1120,
因此,当售价定为54元时,每周获得的利润最大,最大利润为1120元.
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【专题】32:分类讨论;537:函数的综合应用;554:等腰三角形与直角三角形;66:运算能力;69:应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标,再由对称求得C点坐标,再用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)设P(m,0),则M(m,﹣m2+5m+6),N(m,m﹣6),由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数,最后根据二次函数的最大值的求法,求得m的值,进而得P点的坐标;
(3)分三种情况:M为直角顶点;N为直角顶点;Q为直角顶点.分别得出Q点的坐标.
【解答】解:(1)令y=0,得y=x﹣6=0,
解得x=6,
∴B(6,0),
令x=0,得y=x﹣6=﹣6,
∴D(0,﹣6),
∵点C与点D关于x轴对称,
∴C(0,6),
把B、C点坐标代入y=﹣x2+bx+c中,得
,
解得,,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+5x+6;
(2)设P(m,0),则M(m,﹣m2+5m+6),N(m,m﹣6),
则MN=﹣m2+4m+12,
∴△MDB的面积==﹣3m2+12m+36═﹣3(m﹣2)2+48,
∵﹣3<0,
∴当m=2时,△MDB的面积最大,
此时,P点的坐标为(2,0);
(3)由(2)知,M(2,12),N(2,﹣4),
当∠QMN=90°时,QM∥x轴,则Q(0,12);
当∠MNQ=90°时,NQ∥x轴,则Q(0,﹣4);
当∠MQN=90°时,设Q(0,n),则QM2+QN2=MN2,
即4+(12﹣n)2+4+(n+4)2=(12+4)2,
解得,n=4±2,
∴Q(0,4+2)或(0,4﹣2).
综上,存在以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形.其Q点坐标为(0,12)或(0,﹣4)或(0,4+2)或(0,4﹣2).
24.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(m+1,0)、B(0,m)(m>0),以AB为直径画圆⊙P,点C为⊙P上一动点,
(1)判断坐标原点O是否在⊙P上,并说明理由;
(2)若点C在第一象限,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接BC、AC,且∠BCD=∠BAC,①求证:CD与⊙P相切;②当m=3时,求线段BC的长;
(3)若点C是的中点,试问随着m的变化点C的坐标是否发生变化,若不变,求出点C的坐标;若变化,请说明理由.
【考点】MR:圆的综合题.
【专题】152:几何综合题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据圆周角定理即可得到结论;
(2)①连接CP并延长交OA于E,过P作PF⊥OB于F,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据等腰三角形的性质得到∠ACP=∠PAC,根据切线的判定定理即可得到结论;
②根据勾股定理得到AB==5,根据矩形的性质得到CD=PF=OE=4,PE=,于是得到结论;
(3)过点C作CM⊥x轴于点M,CN⊥y轴于点N,由点C是的中点,得到=,推出AC=BC,根据全等三角形的性质得到BN=AM,CM=CN,推出四边形ONCM为正方形,于是得到结论.
【解答】解:(1)坐标原点O在⊙P上,
理由:∵A(m+1,0)、B(0,m),
∴点A,点B分别在x轴和y轴上,
∵以AB为直径画圆⊙P,∠AOB=90°,
∴坐标原点O在⊙P上;
(2)①连接CP并延长交OA于E,过P作PF⊥OB于F,
∵AB是⊙P的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACP=90,
∵PC=AP,
∴∠ACP=∠PAC,
∴∠BCP+∠CAB=90°
∵∠BCD=∠BAC,
∴∠DCB+∠BCP=90°,
∴PC⊥CD,
∴CD与⊙P相切;
②∵m=3,
∴OB=3,OA=4,
∴AB==5,
∵CD⊥y轴,
∴CD∥OA,
∴CE⊥OA,
∴四边形OECD是矩形,
∴CD=PF=OE=2,PE=,
∴OD=CE=4,
∴BD=1,
∴BC==;
(3)不变,
理由:过点C作CM⊥x轴于点M,CN⊥y轴于点N,
则四边形ONCM是矩形,
∴∠MCN=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCN=∠ACM,
∵点C是的中点,
∴=,
∴AC=BC,
在△BNC与△AMC中,
,
∴△BNC≌△AMC,
∴BN=AM,CM=CN,
∴四边形ONCM为正方形,
设CM=a,
∴ON=OM=a,
∴m+a=m+1﹣a
得a=,
∴C.
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