单位文秘网 2021-07-26 08:11:23 点击: 次
一、问题的提出
笔者在某中学版的学习报上看道一道关于振动的题目:
荡秋千的人为了使秋千越荡越高,下列做法效果最好的是().
A.总是当秋千荡到最低点时将人的重心提高,荡到最高点时将人的重心降低
B.总是当秋千荡到最低点时将人的重心降低,荡到最高点时将人的重心提高
C.当秋千荡到最低点和荡到最高点时都要将人的重心降低
D.当秋千荡到最低点和荡到最高点时都要将人的重心升高
该题提供的答案是B选项.
二、问题的分析
题中的荡秋千运动应属参数振动问题.在人、板、悬绳组成的系统中,由于人做周期性下蹲和站立动作,引起系统的重心高度这一参数周期性变化,导致摆幅变化.那么,在何处站起、何处下蹲,能够引起摆幅增大呢?
1.人与秋千之间的相互作用力分析
取秋千为参考系来研究人的运动.秋千作摆动,所以是非惯性系.由“质点在非惯性系中的运动微分方程”得:
mar=FR+FIe+FIc(1)
其中m为人的质量,ar为人的相对加速度,FR为人所受合力,FIe是牵连惯性力,FIc是科氏惯性力.
以Fij表示秋千对人的作用力,G表示人所受重力,ae表示牵连加速度,ω表示秋千的角速度,a表示秋千的角加速度,ve表示牵连速度,vr表示人的相对速度,则有:
FR=Fij+G(2)
FIe=-mae=-m(a×r+ω×ve)(3)
FIc=-mac=-2mω×vr(4)
ve=ω×r(5)
把(2)(3)(4)(5)代入(1)中,经相关的矢量运算法则化简可得:
Fij=mar+ma×r-mω2r+2mω×vr-G(6)
2.人与秋千之间的相互作用力的做功值分析
由牛顿第二定律可知:秋千对人的作用力Fij与人对秋千的作用力Fji大小相等、方向相反,即
Fij=-Fji,
所以人与秋千之间相互作用力所做的元功σWij为:
σWij=Fij•drj+Fji•dri(7)
=Fij•vrdt(7)
把(6)代入(7)并化简得:
σWij=mvrdvr-mω2r•vrdt-G•vrdt(8)
3.人在秋千上站起或蹲下过程中,质点系的能量转化分析
人在秋千上站起或下蹲过程中,肌肉收缩,内力做功,从而使系统的机械能发生变化.内力做功值等于系统机械能的变化量.以Wij表示内力做的功,以ΔE表示人与秋千组成的质点系的机械能变化量,有:σWij=ΔE
在时间微元dt内,有:σWij=σE(9)
由(8)(9)式得:
σE=mvrdvr-mω2r•vrdt-G•vrdt(10)
下面对人在秋千最低点处站起和在最高点处站起两种荡秋千方式进行对比研究.图1表示秋千摆到最低点附近时人从秋千上站起的情形,点1和点2分别表示站起前后人的重心所在位置,秋千摆到最高点附近时,人下蹲,人的重心相应从点3移到点4,r1表示人蹲着时悬点与人重心间距离,r2表示人站立时悬点与人重心间距离;图2表示人在最高点处站起的情形.
图1 图2
为了突出问题的主要方面,把t1到t2、t3到t4的时间都假设为极短,则秋千在t1到t2过程中的角速度ω可以近似看作大小不变来处理,用ω0表示;而t3到t4过程中ω可以近似为0来处理.
(1)图1情形中对式(10)中各项积分得:
∫t2t1mvrdvr+∫t4t3mvrdvr=0
∫t2t1mω2r•vrdt+∫t4t3mω2r•vrdt=-12mω20(r21-r22)
∫t2t1G•vrdt+∫t4t3G•vrdt=-mg(r1-r2)(1-cosα).
将以上三项代入式(10),得到t1到t4过程中人、秋千组成的系统机械能变化量为:
ΔE=Σt4t1σE=12mω20(r21-r22)+mg(r1-r2)(1-cosα),
在式中,r1>r2,(1-cosα)>0,所以ΔE>0,这表示系统的机械能是增加的,所以秋千可以越摆越高.
(2)图2情形中对式(10)中各项积分求得:
ΔE=Σt4t1σE=-12mω20(r21-r22)-mg(r1-r2)(1-cosα),
显然ΔE<0,说明系统的机械能没有增加,所以不能够让秋千越摆越高.
综上可知,人与秋千所组成的系统的内力只有在恰当的时候、恰当的位置做功,才能使人体内的化学能转化成秋千的机械能,使秋千越荡越高.
三、对自编习题的一点建议
从上述推理可以看出,正确答案是A选项.
对此,笔者认为,在编制习题过程中,编写者应抱严谨的态度,以使习题能够发挥更多的正面作用.要提高自编习题的质量,编写者自身既要站在高于中学阶段知识的高度思考问题,严防习题或参考答案出现科学性错误,同时又要从学生的视角去解答习题,使其不超出学生所学知识的范畴.
(责任编辑:黄春香)
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