单位文秘网 2020-07-10 14:22:29 点击: 次
第一章 随机事件与概率 第一节
随机事件及其运算 1、 随机现象:在一定条件下,并不总就是出现相同结果得现象 2、 样本空间:随机现象得一切可能基本结果组成得集合,记为 Ω={ω},其中 ω
表示基本结果,又称为样本点。
3、 随机事件:随机现象得某些样本点组成得集合常用大写字母 A、B、C 等表示,Ω 表示必然事件, ∅ 表示不可能事件、 4、 随机变量:用来表示随机现象结果得变量,常用大写字母 X、Y、Z等表示。
5、 时间得表示有多种: (1)
用集合表示,这就是最基本形式 (2)
用准确得语言表示 (3)
用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件得关系 (1) 包 含关系:如果属于 A 得样本点必属于事件 B,即事件 A 发生必然导致事件B发生,则称 A 被包含于 B,记为A⊂B; (2) 相等关系:若 A⊂B且 B⊃ A,则称事件A与事件B相等,记为A=B。
(3) 互不相容:如果 A∩B= ∅, 即 A 与 B 不能同时发生,则称 A 与 B 互不相容 7、事件运算 (1) 事件 A A 与 与 B B 得并:事件A与事件 B 至少有一个发生,记为 A∪B、 (2) 事件 A A 与 与 B B 得 交:事件 A 与事件 B 同时发生,记为 A∩ B 或 AB。
(3) 事件 A对 B B 得差:事件A发生而事件B不发生,记为 A-B、用交并补可以表示为。
(4) 对立事件:事件 A 得对立事件(逆事件),即 “A 不发生”,记为、 对立事件得性质:、 8、事件运算性质:设 A,B,C 为事件,则有 (1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA (2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)、 A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC (4)棣莫弗公式(对偶法则):
9、事件域:含有必然事件 Ω ,并关于对立运算与可列并运算都封闭得事件类 ξ 称为事件域,又称为 σ 代数。具体说,事件域 ξ 满足: (1)Ω∈ξ; (2)若 A∈ξ,则对立事件∈ξ; (3)若A n ∈ξ,n=1,2,···,则可列并 ξ 。
10、两个常用得事件域:
(1)离散样本空间(有限集或可列集)内得一切子集组成得事件域;
(2)连续样本空间(如R、R2 等)内得一切博雷尔集(如区间或矩形)逐步扩展而成得事件域、 第二节 概率得定义及其确定方法 1、概率得公理化定义:定义在事件域 ξ 上得一个实值函数P(A)满足: (1)非负性公理:若A∈ξ,则 P(A)≥0;
(2)正则性公理:P(Ω)=1 (3)可列可加性公理:若 A , ,A 2 ,···,A 3 互不相容,则有
, ,
即 ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P ,则称 P(A)为时间 A 得概率,称三元素(Ω,ξ,P)为概率空间 2、确定概率得频率方法:(就是在大量重复试验中,用频率得稳定值去获得频率得一种方法)它得基本思想就是:
(1)与考察事件 A 有关得随机现象可大量重复进行; (2)
在 n 次重复试验中,记 n(A)为事件A出现得次数,称
f n (A)= , 为事件 A 出现得频率; (3)
频率得稳定值就就是概率; (4)
当重复次数 n 较大时,可用频率作为概率得估计值。
3、确定概率得古典方法: 它得基本思想就是: (1)
所涉及得随机现象只有有限个样本点,譬如为 n 个; (2)
每个样本点发生得可能性相等(等可能性); (3)
若事件 A 含有 k 个样本点,则事件 A 得概率为 P(A) = 。
4、确定概率得几何方法: 它得基本思想就是: (1)
如果一个随机现象得样本空间充满某个区域,其度量(长度、面积、体积等)大小可用 S n 表示; (2)
任意一点落在度量相同得子区域内就是等可能得; (3)
若事件 A 为中某个子区域,且其度量为 S A ,则事件 A 得概率为 P(A)= . 5、确定概率得主观方法:一个事件A得概率 P(A)使人们根据经验,对该事件发生得可能性大小所做出得个人信念、 6、概率就是定义在事件域 ξ 上得集合函数,且满足三条公理。前三种确定概率得方法自动满足三条公理,而主观方法确定概率要加验证,若不满足三条公理就不能称为概率。
第三节 概率得性质: 1、 P(Φ)=0 2、 有限可加性:若有限个事件 A , ,A 2 ,···,A 3 互不相容,则有
, ,
3、 对立事件得概率:对任一事件 A,有 4、 减法公式(特定场合):若 AB,则 P(A—B)=P(A)-P(B) 5、 单调性:若AB,则 P(A) P(B) 6、 减法公式(一般场合):对任意两个事件 A、B,有 P(A-B)=P(A)—P(AB) 7、 加法公式:对任意两个事件A、B,有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
对任意n个事件 A 1 ,A 2 ,···,A n ,有
ni a j i a k j innk j i j i iA A A P A A A P A A P A P A P1 1 12 11n1 ii) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8、 半可加性:对任意两个事件 A、B,有. 9、 事件序列得极限: (1)
对 ξ 中任一单调不减得事件序列,称为可列并为极限{F n }得极限事件,记为。
(2)
对 ξ 中任一单调不增得事件序列,称为可列交为极限{E n }得极限事件,记为。
若,则称概率P就是上连续得 10、 概率得连续性:若 P 为事件域 ξ 上得概率,则P既就是上连续得,又就是下连续得 11、 若 P就是 ξ上满足 P(Ω)=1 得非负集合函数,则 P就是可列可加性得充要条件就是P 具有有限可加性与下连续性。
第四节
条件概率
1、条件概率:设 A、B 就是两个事件,若P(A)>0,则称 P(A|B)=为事件 B 发生条件下,事件 A发生得条件概率、 条件概率就是概率得一种,所有概率得性质都适合于条件概率。
2、乘法公式: (1)若 P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)
(2)若 P(A 1 A 2 …A n-1 )>0,则有 ………… 。
3、全概率公式:设事件互不相容,且,如果 , , 则对任一事件 A 有,i=1,2,···,n。
) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P 、 4、贝叶斯共公式:设事件,,…,互不相容,且,如果 P(A)>0,,则 ,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式、,(,,…,),通常叫 B i 得先验概率。,(,,…,),通常称为 B i得后验概率、
第五节
独立性 1、两个事件得独立性:如果满足,则称事件、就是相互独立得,简称 A 与 B 独立。否则称 A与 B 不独立或相依。
若事件、相互独立,且,则有
2、若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件与不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
3、多个事件得独立性:设有n个事件 A 1 ,A 2 ,···,A n ,如果对任意得1 I〈j〈k〈···n,以下等式均成立
则称此 n 个事件 A 1 ,A 2 ,···,A n 相互独立。
4、若 n 个事件相互独立,则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后,所得诸事件亦相互独立。
5、试验得独立性:假如实验 E 1 得任一结果(事件)与试验 E 2 得任一结果(事件)都就是相互独立得事件,则称这两个试验相互独立、 6、n 重独立重复试验:假如一个试验重复进行 n 次,并各次试验间相互独立,则称其为 n 次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果:A 与,则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次,并各次试验间相互独立,则称其为 n 重伯努利试验。
第二章 随机变量及其分布 第一节
随机变量及其分布 1、 随机变量:定义在样本空间Ω上得实值函数 X=X(ω)称为随机变量。
(1)
离散随机变量:仅取有限个或可列个值得随机变量 (2)
连续随机变量:取值充满某个空间(a,b)得随机变量。这里 a 可为—∞,b 可为+∞。
2、分布函数:设 X 就是一个随机变量,对任意实数 x,称函数为 X 得分布函数,记为 X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质: (1)
单调性:F(x)就是单调非减函数,即对任意得 x 1 <x 2 ,有 F(x 1 )F(x 2 ); (2)
右连续性:F(x)就是x得右连续函数,即对任意得x 0 ,有,即 F(x 0 +0)=F(x 0 ); (3)
有界性:对任意得 x,有 0≤F(x) ≤1,且 F(-∞)==0,F(+∞)==1 可以证明:具有上述三条性质得函数 F(x)一定就是某一个随机变量得分布函数。
如果将 X 瞧作数轴上随机点得坐标,那么分布函数 F(x)得值就表示 X 落在区间 内得概率 3、离散型随机变量得概率分布列: 若离散型随机变量得可能取值为x n (n=1,2,…)则称X取 x i 得概率为P i =P(x i= )P(X=x i ),i=1,2,…,则称上式为离散型随机变量得概率分布列,简称分布列。有时也用列表得形式给出: 。
分布列具有两条基本性质:
(1)
非负性;,
(2)正则性:。
离散随机变量X得分布函数,它就是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量 X 取值于区间(a,b ]上得概率为 P(a<X≤b)=F(a)-F(b)、常数 c 可瞧作仅取一个值得随机变量 X,即 P(X=c)=1,它得分布常称为单点分布或退化分布。
4、连续随机变量得概率密度函数: 记连续随机变量 X 得分布函数就是 F(x),若存在非负可积函数 p(x),对任意实数 x,有,则称为连续型随机变量。p(x)称为得概率密度函数,简称密度函数。
密度函数 p(x)具有下面 2 个基本性质:
(1)
非负性:; (2)
正则性:、 5、离散分布:分布在离散场合可以就是分布列或分布函数;连续分布:分布在连续场合可以就是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续得分布、 6、设随机变量 X 得分布函数 F(x),则可用 F(x)表示下列概率:
(1)P(X≤a)= F(a);
(2)P(X〈a)= F(a-0);
(3)P(X〉a)=1-P(X≤a) =1—F(a); (4) P(X=a)= P(X≤a)- P(X<a)= F(a)- F(a—0); (5) P(X≥a)=1— P(X〈a)=1— F(a—0); (6) P(|X|<a)=P(-a<X<a)= P(X〈a)- P(X≤-a)= F(a—0)- F(—a)。
第二节
随机变量得数学期望 1、 数学期望:设随机变量 X 得分布列 p(x i )或用密度函数 p(x)表示,若 , 则称 E(X)=
为 X 得数学期望,简称期望或均值,且称 X 得数学期望存在。否则数学期望不存在。
数学期望就是有分布决定得,它就是分布得位置特征。如果两个随机变量同分布,则其数学期望(存在得话)就是相等得、期望相当于重心。
2、 数学期望得性质:假设数学期望存在, (1)
X 得某一函数 g(X)得数学期望为 (2)
若C为常数,则 E(C)=C (3)
对任意常数 C,有E(CX)=CE(X) (4)
对任意得两个函数 g 1 (x)与 g 2 (x),E[g 1 (x)±g 2 (x)] = E[g 1 (x)]±E[g 2 (x)] (5)
E(X+Y)=E(X)+E(Y), (6)
E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X 与Y独立; 充要条件:X与Y不相关、 第三节
随机变量得方差与标准差 1、 方差:随机变量 X 对其期望 E(X)得偏差平方得数学期望(设其存在)Var(X)=E[X-E(X)]2 称为 X 得方差,方差得正平方根 σ(X)=σX =称为X得标准差。
方差就是由分布决定得,它就是分布得散布象征,方差越大,分布就越散;方差越小,分布就越集中。标准差与方差得功能相似,只就是量纲不同。
2、 方差得性质:假设方差存在, (1)
Var(X)=E(X2 )-[E(X)] 2
(2)
若 c 就是常数,则 Var(c)=0 (3)
Var(aX+b)= a2 Var(X) (4)
若随机变量 X 得方差存在,则 Var(X)=0得充要条件就是 X 几乎处处为某个常数a,即 P(X=a)=1 (5)
若 X ,Y 相互独立,则 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )
3、 切比雪夫不等式:设 X 得数学期望与方差都存在,则对任意常数 ε>0,有,或、切比雪夫不等式给出随机变量取值得大偏差(指事件{|X-E(X)| ≥ε})发生得概率得上限,该上限于分布得方差成正比。
4、 随机变量得标准化:对任意随机变量X,如果X得数学期望与方差存在,则称
为 X 得标准化随机变量,此时有 E(X* )=0,Var(X * )=1。
第四节 常用离散分布 1、 二项分布: 设随机变量 X 得概率分布列为, ,其中,则称随机变量服从参数为,得二项分布。记为。
(1)
背景: 重贝努里试验中成功得次数服从参数为,得二项分布、记为,其中p为一次伯努利试验中成功发生得概率。
(2)
n=1时得二项分布B(1,p)称为二点分布,或0-1分布,(0-1)分布就是二项分布得特例、当 X~B(1,p)时,X可表示一次伯努利试验中成功得次数,它只能取 0 或 1。
(3)
二项分布 B(1,p)得数学期望与方差分别就是:E(X)=np,Var(X)=np(1—p)。
(4)
若,则 Y=n—X~B(n,1—p),其中Y=n—X就是 n 重伯努利试验中失败得次数。
2、 泊松分布: (1)
设随机变量得概率分布列为,k=0,1,2,···,则称随机变量服从参数为得泊松分布,记为 X~P(),其中参数。
(2)
背景:单位时间(或单位面积、单位产品等)上某稀有事件(这里得稀有事件就是指不经常发生得事件)发生得次数服从泊松分布 P(),其中为该稀有事件发生得强度、 (3)
泊松分布P()得数学期望与方差分别就是:E(X)= ,Var(X)=。
(4)
二项分布得泊松近似(泊松定理):在 n 重伯努利试验中,记事件 A 在一次试验中发生得概率为 p n (与试验次数n有关),如果当 n+∞时,有 np n ,则。
3、 超几何分布 (1)
若 X 得概率分布列为,k=0,1,···,r、则称 X 服从超几何分布,记为 X~h(n,N,M),其中 r=min{M,n},且 M≤N,n≤N。n,N,M均为正整数。
(2)
背景:设有 N 个产品,其中有 M 个不合格品、若从中不放回得随机抽取 n 个,则其中含有得不合格品得个数 X 服从超几何分布h(n,N,M)。
(3)
超几何分布 h(n,N,M)得数学期望与方差分别就是:E(X)=,Var(X)=。
(4)
超几何分布得二项近似:当 n〈<N时,超几何分布 h(n,N,M)可用二项分布 b(n,M/N)近似,即,其中 p=M/N、 (5)
实际应用中,再不返回抽样时,常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数得分布;在返回抽样时,常用二项分布b(n,p)描述抽出样品中不合格聘书得分布;当批量N较大,而抽出样品数 n 较小时,不返回抽样可近似瞧成返回抽样。
4、 几何分布: (1)
若 X 得概率分布列为 P(X=k)=(1—p)k-1 p,k=1,2,···,则称为 X 服从几何分布,记为 X~Ge(p),其中 0<p〈1. (2)
背景:在伯努利试验序列中,成功事件 A 首次出现时得试验次数 X 服从几何分布Ge(p),其中p为每次试验中事件 A 发生得概率。
(3)
几何分布 Ge(p)得数学期望与方差分别就是;E(X)=,Var(X)=。
(4)
几何分布得无记忆性:若 X~Ge(p),则对任意正整数 m 与 n 有 P(X>m+n|X〉m)=P(X〉n)。
5、 负二项分布: (1)
若 X 得概率分布列为,k=r,r+1,···。则称X服从负二项分布或巴斯卡分布,记为X~Nb(r,p),其中 r 为正整数,0<p<1。
(2)
背景:在伯努利试验序列中,成功事件 A 第 r 次出现时得试验次数 X 服从负二项分布 Nb(r,p),其中p为每次试验中事件A发生得概率、 (3)
r=1 时得负二项分布为几何分布,即 Nb(r,p)=Ge(p)。
(4)
负二项分布 Nb(r,p)得数学期望与方差分别就是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p2 。
(5)
负二项分布得随机变量可以表示成 r 个独立同分布得几何分布随机变量之与,即若 X~Nb(r,p),则 X=X 1 +X 2 +···+X r ,其中X 1 ,X 2 ,···,X r 就是相互独立、服从几何分布Ge(p)得随机变量、 6、 常用离散分布表
分布列 p k
期望 方差 0—1 分布 p k =pk (1-p) 1-k ,k=0,1 p
二项分布 p k =k=0,1,···,n np
泊松分布 p k =k=0,1,···
几何分布 p k = P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,···,
超几何分布 p k = k=0,1,···,r。r=min{M,n}
负二项分布 Nb(r,p) p k = k=r,r+1,···。
r/p r(1-p)/p2
第五节
常用连续分布 1、 正态分布 (1) 若 X 得密度函数与分布函数分别为 ,—∞<x〈+∞; ,—∞<x〈+∞;则称 X 服从正态分布,记作X~N(μ,σ2 ),其中参数-∞<μ〈+∞,σ〉0。
(2)背景:一个变量若就是由大量微小得、独立得随机因素得叠加结果,则此变量一定就是正态变量(服从正态分布得变量)。测量误差就就是量具偏差、测量环境得影响、测量技术得得影响等因素随机因素叠加而成得,所以测量误差常认为服从正态分布。
(3)
关于参数 μ: μ 就是正态分布得数学期望,即 E(X)=μ,称 μ 为正态分布得位置参数。
μ 就是正态分布得对称中心,在 μ 得左侧与 p(x)下得面积为0、5;在 μ 得右侧与 p(x)下得面积为 0。5;所以 μ 也就是正态分布得中位数 若 X~N(μ,σ2 ),则 X 在离 μ 越近取值得可能性越大,离 μ 越远取值得可能性越小 关于参数 σ: σ2 就是正态分布得方差,即 Var(X)=σ 2 ; σ 就是正态分布得标准差,σ 越小,正太分布越集中;σ 越大,正态分布越分散;σ 又称为正态分布得尺度参数 若 X~N(μ,σ2 ),则其密度函数 p(x)在 μ±σ 处有两个拐点 (4)
标准正态分布:称 μ=0,σ=1时得正态分布 N(0,1); 记 U 为标准正态变量,φ(u)与 Φ(u)为标准正态分布得密度函数与分布函数。φ(u)与Φ(u)满足: φ(—u)= φ(u) Φ(—u)=1— Φ(u)、对 u>0, Φ(u)得值有表可查 (5)
标准化变换:若X~N(μ,σ2 ),则U=(X—μ)/σ~N(0,1),其中U=(X-μ)/σ称为X得标准化变换 (6)
若X~N(μ,σ2 ),则对任意实数a与b,有P(X≤b)=,P(a〈X)=1—, P(a<X≤b)=—。
(7)
正态分布得 3σ 原则:设 X~N(μ,σ2 ),则 P(|X—μ|<kσ)=Φ(k) —Φ(—k)= 2、 均匀分布 (1)
若 X 得密度函数与分布函数分别为
则称 X 服从区间(a,b)上得均匀分布,记作 X~U(a,b)。
(2)
背景:向区间(a,b)随机投点,落点坐标X一定服从均匀分布U(a,b)。
“随即投点”指:点落在任意相等长度得小区间上得可能性就是相等得。
(3)
均匀分布 U(a,b)得数学期望与方差分别就是 E(X)=,Var(X)=。
(4)
称区间(0,1)上得均匀分布U(0,1)为标准均匀分布,它就是导出其她分布随机数得桥梁 3、 指数分布 (1)
若 X 得密度函数与分布函数分别为
则称为 X 服从指数分布,记作 X~Ex
p(λ),其中参数 λ〉0。
(2)
背景:若一个元器件(或一台设备、或一个系统)遇到外来冲击时即告失效,则首次冲击来到得时间 X(寿命)服从指数分布、 (3)
指数分布Exp(λ)得数学期望与方差分别就是 E(X)=,Var(X)=、 (4)
指数分布得无记忆性:若 X~Exp(λ),则对任意 s〉0,t>0,有 P(X>s+t|X>s)=P(X>t)。
4、 伽玛分布 (1)
伽玛函数:称()=为伽玛函数,其中参数〉0。伽玛函数具有如下性质: ① (1)=1; ② (1/2)=; ③ (+1)=(); ④ (n+1)=n(n)=n!(n 为自然数)。
(2)
伽玛分布:若X得密度函数为即称 X 服从伽玛分布,记作 X~Ga(,λ),其中〉0为形状参数,λ>0为尺度参数。
(3)
背景:若一个元器件(或一台设备、或一个系统)能抵挡一些外来冲击,但遇到第k次冲击时即告失效,则第 k 次冲击来到得时间X(寿命)服从形状参数为 k 得伽玛分布 Ga(k,λ)。
(4)
伽玛分布Ga(,λ)得数学期望与方差分别为E(X)=,Var(X)=。
(5)
伽玛分布得两个特例: ① =1 时得伽玛分布就就是指数分布,即 Ga(1,λ)= Exp(λ)、 ② 称=n/2,λ=1/2 时得伽玛分布为自由度为n得 χ2 (卡方)分布,记为 χ 2 (n),其密度函数为
,χ2 (n)分布得期望与方差分别就是 E(X)=n,Var(X)=2n。
(6)
若形状参数为整数k,则伽玛变量可以表示成 k 个独立同分布得指数变量之与,即若X~Ga(k,λ),则X=X 1 +X 2 +···+X k 就是相互独立且都服从指数分布Exp(λ),得随机变量、 5、 贝塔分布 (1) 贝塔函数:称B(a,b)=为贝塔函数,其中参数 a>0,b>0。贝塔函数具有如下性质:①B(a,b)= B(b,a);②B(a,b)=。
(2) 贝塔分布:若 X 得密度函数为, 则称 X 服从贝塔分布,记作 X~Be(a,b),其中a〉0,b〉0 都就是形状参数、 (3) 背景:很多比率,如产品得不合格率、机器得维修率、射击得命中率等都就是在区间(0,1)上取值得随机变量,贝塔分布 Be(a,b)可供描述这些随机变量之用、 (4) 贝塔分布 Be(a,b)得数学期望与方差分别就是, (5) a=b=1 时得贝塔分布就就是区间(0,1)上得均匀分布,即Be(1,1)=U(0,1)。
6、常见连续分布表
密度函数 p(x) 期望 方差 正态分布 ,-∞<x<+∞
均匀分布 U(a,b)
指数分布Exp(λ)
伽玛分布 Ga(,λ)
χ2 (n)分布
n 2n 贝塔分布Be(a,b)
对数正态分布 LN(μ,σ2 ) x>0
柯西分布Cau(μ, λ) ,-∞〈x〈+∞ 不存在 不存在 韦布尔分布 Wei(m,η) P(x)=F’(x),,x〉0
第六节 随机变量函数得分布 1、 设连续随机变量 X 得密度函数为P X (x),Y=g(X)。
(1)
若y=g(x)严格单调,其反函数 h(y)有连续导函数,则 Y=g(X)得密度函数为, 其中 a=min{g(-∞), g(+∞)},b=max{g(-∞), g(+∞)}、 (2)
若y=g(x)在不重叠得区间 I 1 ,I 2 ,···上逐段严格单调,其反函数 h 1 (y),h 2(y),···有连续导函数,则 Y=g(X)得密度函数为 。
2、 正态变量得线性变换仍为正态变量:若 X 正态分布,则当a≠0 时,有 Y=aX+b~N(aμ+b,a2 σ 2 )、 3、 对数正态分布 (1)
若 X 得密度函数为 则称X服从对数正态分布,记为 X~LN(μ,σ2 ),其中-∞<μ<+∞,σ>0。
(2)
若X~LN(μ,σ2 ),则 E(X)=,Var(X)= (3)
若X~LN(μ,σ2 ),则 Y=ln X~N(μ,σ2 ) 4、 若 X~Ga(,λ),则当k>0 时,有 Y= kX~Ga(,λ/k)、 5、 若X得分布函数 F X (x)为严格单调增得连续函数,其反函数 F -1X (x)存在,则 Y= F X (X)服从(0,1)上得均匀分布 U(0,1)。
第七节
分布得其她特征数 1、 k 阶矩 (1)
称μ k =E(Xk )为 X 得 k 阶原点矩、一阶原点矩就就是数学期望
(2)
称 k =E(X—E(X))k 为 X 得 k 阶中心矩。二阶中心距就就是方差 (3)
前 k 阶中心矩可用原点表示,如 1 =0; 2 =μ 2 -μ 12 ;3 =μ 3- 3μ 2 μ 1 +2μ 13 ;4 =μ 4 -4μ 3 μ 1 +6μ 2 μ 12 —3μ14 。
2、 变异系数:称比值为 X 得变异系数、变异系数就是一个无量纲得量。
3、 分位数:设连续随机变量X得分布函数为 F(x),密度函数为 p(x)。对任意p∈(0、1), (1)
称满足条件得为此分布得 p 分位数,又称下侧 p 分位数,它把密度函数下得面积一分为二,左侧面积恰好为 p; (2)
称满足条件得为此分布得上侧p分位数、 (3)
分位数与上侧分位数得转换公式:=,=。
(4)
中位数:称 p=0、5 时得 p 分位数为此分布得中位数、即满足; (5)
若随机变量 X 得密度函数 p(x)就是偶函数,则此分布得p分位数满足:=。
(6)
记标准正态分布得 p 分位数。因为标准正态分布函数就是偶函数,所以=—。
(7)
一般正态分布得 p 分位数满足:=μ+σ×。
(8)
分布得矩有可能不存在,但连续分布得分位数总存在。p 分位数总就是p得增函数。
4、 偏度系数 (1)称比值
(责任编辑:单位文秘网) )地址:https://www.kgf8887.com/show-127-7286-1.html
版权声明:
本站由单位文秘网原创策划制作,欢迎订阅或转载,但请注明出处。违者必究。单位文秘网独家运营 版权所有 未经许可不得转载使用