单位文秘网 2021-07-18 08:06:19 点击: 次
摘要:链接是指像链子一样相互连接,研究小学数学概率知识的基础与链接。就是既要明确小学概率知识的基础定位,明确它与概率论理论知识的关联,又要明确它在整个基础教育段概率知识链中的位置,其目的在于加强小学概率知识的教学研究,以保障小学概率知识的实用性、有效性、可发展性和建立于直观感知基础上的科学严谨性,使基础教育段中的概率知识成为一个科学合理、有机结合的整体。
关键词:小学数学;概率知识;链接
概率论是研究随机现象(不确定现象)的规律性的科学,早在1812年著名数学家拉普拉斯在《概率论的解析理论》中就曾评价道:“很值得注意的是一门从考虑机会的游戏开始的科学将成为人类知识中最重要的东西,人生的最重要的问题中的大部分事实上只是概率论的问题,”正因为如此,我国2001年出台的数学新课程标准中,概率知识成为出现在小学、初中、高中各个学段中的一部分重要内容,这既表现出数学新课程的现实性,又表现出概率知识学习的渐进性与整个数学学习过程的活动性。
在这种背景下,研究小学数学概率知识基础及其链接尤为重要,学习中通过真切体会生活中不确定现象的存在,体会随机现象的统计规律性特征,通过形象描述,正确理解“一定”、“不可能”、“可能”及“公平”,这些亲身经历与感性认识,虽然处于启蒙、渗透阶段,较为浅显,但是仍然是对一门重要学科的启蒙,是在为随机事件的科学定义奠定基础,是在为逐步形成科学严谨的概率论与数理统计体系奠定基础,因此意义重大。
显然,做好这一启蒙工作,需要教师具有足够的知识储备,需要明确中小学概率知识在基础教育阶段中的科学定位,而这可以说仍是目前小学概率知识教学中的一个难点问题
问题主要反映在三个方面:
1.自新课程实施近十年以来,在小学多次听课中始终能够发现,与“可能性”等概率问题有关的课程,教师在授课时经常会出现一些知识方面的漏洞,而有些具有导向性的漏洞甚至会影响到学生正确数学概念的形成。
2.有些数学教师的概率知识是经验性的,是缺乏理论体系支撑的,在这种情形下,他们对小学概率知识确实难以准确定位。
3.小学数学教师更多的关注于小学概率知识的教学设计与研究,而很少关注初、高中部分概率知识的目标要求及需要,缺乏对初等教育阶段概率知识目标的宏观了解与整体把握,这样仍然会影响到小学概率知识的定位及目标指向,影响到概率知识的有机渗透与发展。
因此,小学数学教师研究小学概率知识的链接很有必要,有效教学需要直观、严谨,科学定位需要高瞻远瞩、合理统筹。
一、小学两个学段中概率知识基础定位
数学课程标准中提出,小学概率知识在二、三两个学段进行,其中涉及的知识表面看来较为形象直观,但实际上知识的安排意义深刻而广泛,从知识角度看:
第一学段中概率知识定位于“不确定现象”,目标要求:
1.通过生活中熟悉的现象感受“不确定现象”:
2.通过对一个简单实验中所有可能结果的分析感知“不确定现象”:
3.通过对事件发生可能性有大小来感知“不确定现象”。
第二学段中概率知识定位于“可能性”,主要目标要求为:通过可能性的大小认识“公平性”问题。
这样小学概率知识的定位十分明确,包含三个基本概念的渗透:不确定现象。等可能性和反映简单试验所有可能结果的样本空间,反映着由“不等-相等-公平”的概率知识链,亦即随机事件发生的可能性是有大小的,对于在一次试验中所有可能结果发生的可能性都相同的现象,在数学上称之为是“等可能的”,而在生活中则被认为是“公平的”,这就是小学数学概率知识结构及其链接,这一链接不仅体现为两学段的知识链接,同时也体现为概率知识与现实生活的链接,
二、小学概率知识与初、高中概率知识目标要求的链接
基础教育阶段《数学新课程标准》对概率知识的目标要求:
全日制义务教育第一学段:初步感受不确定现象
全日制义务教育第二学段:体验事件发生的等可能性,游戏规则的公平性,能计算一些简单事件发生的概率。
全日制义务教育第三学段:进一步丰富对概率的认识,知道频率和概率的关系,会计算一些事件发生的概率。
高中阶段:在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别,……通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,了解随机数的意义,初步体会几何概型的意义。
以人教版教材为例,如上四个学段概率知识具有如下的链式特征:
1.知识的形成过程注重强化链接环节。几经周折缓慢上升。
2.知识的呈现方式由“感受一描述一定义”,由形象直观渐至科学严谨。
以知识的安排为例:又以必然事件、不可能事件、随机事件概念的形成过程为例:
以上两例说明:
①各个学段知识的链接不是简单的线性链接,而是始终把握“不确定现象”这一基础,从形象感受开始,经历“事情-事件”、“在生活中-一定条件下”,不断加强对它的理性感知,夯实链接基础,使“不确定现象”认识过程本身就形成一个“直观感觉-形象描述-科学定义”的链式结构。
②概率知识虽然贯穿于初等教育段的始终,但是一直都是在用形象的语言进行描述,直至七年级(下)教材中才正式出现“概率”一词,这样在充分了解不确定现象本质特征的基础上,再与概率论科学体系相接轨,用科学严谨准确的数学语言加以表述,不仅反映了数学的抽象化过程,而且从“可能性”到“概率”的变化可以说是一个质变,反映着对随机现象从“定性-定量”的刻画,这一刻画使得建立“事件-数量”之间的关联成为可能,形成了“生活中的现象-模式化特征-数学表达”的又一链式结构,反映着基础教育“数学生活化”的特点,同时也为概率论中随机变量的理论研究奠定基础。
综上,小学数学中的概率知识,固然是生活的、形象的、直观的、基础的,但是也应是定位于严谨的、科学的和可持续发展的,这既有利于与下学段知识的链接,也有利于运用动态的、发展的、理性的观点正确看待解决生活中的随机问题。
三、小学概率知识与概率理论知识的链接
小学概率知识于直观形象中蕴含着概率论的理论知识,做好这方面的启蒙、渗透与链接是小学概率知识学习的重点。
1.小学概率知识的学习,经常伴随之游戏,于游戏中体悟数学道理是教学的真正目的,对此以小学中常见的“摸球游戏”为例。
在引导学生感知“不确定现象”的教学中,经常见到“摸球”的教学环节,有时摸球是不放回的,而有时摸球是有放回的。两种摸球方式本质上有区别,它们对应着概率论中的两种分布:超几何分布和二项分布,当明确它们不同的知识背景后,教学中就会慎重选择摸球游戏的方式。以便得到正确的结果,否则可能将学生引入概率辨识的误区。
如下是在小学听课时的一个案例片断,对于诠释如上问题具有一定代表性。
师:(出示不透明纸袋)现在咱们来玩一个摸球的游戏,袋中装着球,现在从中任意摸出一个球来,你知道怎么摸就是任意摸吗?
生:随便摸。
师:任意摸就是摸的时候不能看,还要多翻动几下,然后再摸,同学们,你们愿意做摸球游戏吗?
生:愿意。
师:注意听摸球的方法:请每个小组拿出1号纸袋,袋子中有6个球,小组中的6个成员每人从袋子中任意摸一个球,摸到什么颜色的球,记录员就用什么颜色的笔把它记录下来,然后把球放回到袋子中,下一位同学再摸,现在开始。
(小组积极进行摸球游戏并记录。)
师:现在小组长来汇报你们组的摸球结果。
(各小组长汇报说摸到的都是红球)
师:他们异口同声地说都摸到的是红球,其他同学摸到球的情况怎么样呢?为什么大家摸到的都是红色的球呢,谁来猜猜看?
生:袋子中全部都是红色的球。
师:同学猜得对不对呢?让我们打开袋子来看一看就知道了。
(同学们从1号纸袋中取出装球的塑料袋,袋中都是红球)
师:请同学们想一想,袋中装的全是红球,任意摸一个球,结果会怎样?
生:摸出的一定是红球,
师:(教师板书):
如果袋中全是红球,任意摸一个球,一定是红球!
分析思考这一片断的教学设计:
(!)教师加强了对任意摸的感知,强调摸的时候不能看,翻动几下再摸,突出摸球时的随机性。表明摸到其中哪个球的可能性都是相同的,目的在于通过“随机”、“等可能”渗透“随机事件”的概念,这是本节课教学设计的一个优点。
②摸球方法中强调记录后把球放回去再摸,反映着概率论中的一种概率模型——有放回式摸球,有放回式摸球的主要特点是:
第一,多次摸球时袋中球的总数不会发生变化:
第二,后面每一次摸球时有可能重复摸到前面已经摸过的球。
本案例中就是在有放回式摸球的教学设计出现了问题:
首先,小组中6个人有放回任意摸球6次,结果都是红球,并不能说明袋中一定全部是红球!
其次,即使6个人有放回摸球6次都是红球,也不能得到结论“袋中装的全是红球。所以任意摸一个球一定是红球”!
第三,每小组6个人,袋中恰好装6个球,也有不妥,给人以6个人摸遍6个球的暗示!与“有放回式”摸球可重复摸到某一球的实际不符。
可见,这一有放回摸球游戏的设计,问题主要出在对有放回摸球概率模型的把握不当。而这一问题处理不当,有可能发生的链式反应就是影响到学生对于“一定”、“不可能”、“可能”概念的认识,影响到学生对于随机过程的理解以及不同概率模型适用背景的区分……
2.小学概率知识中,摸球游戏伴随始终,从中体悟到概率模型是认识数学模式化特征的最好契机。
摸球游戏虽然简单,但是其中确实蕴含着较为丰富的概率模型,如:
①摸两色球游戏意味着一个随机试验只有两种不同可能结果出现,以无放回或有放回摸球为例,其分别对应着“0-1分布”和“二项分布”的概率模型。
教材中的“投硬币游戏”就是一个典型的例子。
②多色球摸球游戏是两色球游戏的推广。意味着一个随机斌验会有多种不同可能结果出现,从概率论理论体系的角度,可以表示为离散随机变量的概率分布,涉及的概率模型仍与摸球方式有关,分别对应着“超几何分布”和“二项分布”。
教材中的“抽签游戏”、“投掷正方体块游戏”、“摸棋子游戏”等都是具体的例证,而这一模型在生产实践中又经常被运用于产品检验。
③各学段教材都不同程度地设计了转盘游戏,这一游戏可以从如下两个方面进行分析:
第一,对于等分为几个部分的转盘,按填充颜色仍可以看作多色球摸球游戏,对应于概率论中的古典概型,适用于随机试验只有有限个不同等可能性结果出现的概率问题。
第二,任意一个转盘,如果按转盘内的每一条从中心出发的射线为随机事件考虑,则可以看成概率论中的几何概型,对应着随机实验可有无限多个不同可能结果出现的概率模型。
综上,“两色球游戏-多色球游戏-转盘游戏”的游戏链明确表现出“两点分布-超几何分布-二项分布”的概率模型链,也表现出从“有限-无限”从“离散-连续”的知识发生链,呈现着现实、有趣、科学的概率知识体系,也确实可以感受到具体的数学模型,体会数学的模式化特征。
因此小学生概率知识的学习,不应只是热闹的、直觉的,应该是通过游戏而终能把握到本质的,这个本质根据小学生的年龄特征,虽然是形象的。却是科学的。
那么,如何恰当定位与把握,使之感性认知深刻,理性认识萌发,并能发展渗透于今后,显然还是依赖于小学概率知识的把握与链接,而从更广泛的意义上讲,还依赖于基础教育各个学段概率知识的有效链接。
参考文献:
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[2]MorrisKline主编齐民友等译现代世界中的数学[M],上海:上海教育出版社。2004年版281
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