单位文秘网 2021-07-17 14:32:34 点击: 次
思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域。随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等,显然借鉴或搬运了微积分的现有成果。又如概率论中运用微积分的基础——极限论的地方也非常多,诸如分布函数的性质、大树定律、中心极限定律等。总之,微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面。
2.微积分在概率统计中的实际应用
2.1微分法
某些随机事件的概率有依赖于1个变量的特点(比如依赖于时间变量等)。该概率作为1个未知函数,有类比于通过微分方程确定未知函数的途径,从局部性质(增量研究)入手,由微分的方法可求出所需的概率。
例1 某机器在△t时间内因故障而停止的概率为a△t+o(△t)(a为正常数)。如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立,如在时刻t0机器在工作着。试求此机器由t0到t0+t这段时间内不停工作的概率。
解:在机器工作稳定的情况下,所求概率应该只与时间区间[t0,t0+t]的长短有关,而与起点t0无关。故所求概率只是t的函数,记为P(t)。由于对P(t)的整体性状的信息认识不足,只是局部地知道机器在充分小的△t时间内因故障停车的概率为a△t+o(△t)。可以先去考查P(t)在局部范围的增量变化特征。明显地,机器[t0,t0+t+△t]内不停,当且仅当在[t0,t0+t]及[t0+t,t0+t+△t]2段时间内都不停时才成立。利用这2个事件的独立性可得:
2.2逐项微分法
根据变量数学期望与方差的定义,利用随机变量的概率分布或分布密度的特点,可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差。对于概论分布或分布密度含有参数的随机变量,也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差。
2.3幂级数法
级数是数学的重要组成部分,是表示函数的重要工具。所谓幂级数法,就是在某个任意点的领域上,把待求的解表为系数待定的幂级数,代之方程以逐个确定系数。幂级数解法是一个比较普遍的方法,适用范围较广,可借助于解析函数的理论进行讨论。
2.4特殊函数法
Gamma函数与Beta函数在概率论中有着广泛的应用,借助Gamma函数,概率论中有重要的?祝分布和x2分布。
由此可见,微积分是学习概率论的基础。犹如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些概念问题。
微积分有着几百年的历史,已经非常完善,也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一,微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之,概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题,希望我们可以发现更多地方法,用于两者的共同发展。
参考文献:
[1]马文.概率的应用及思维方法[M].重庆:重庆大学出版社,1989.
[2]孙春香,李冠军.数学建模思想在概率统计教学中的应用[J].科技资讯,2012,14(12):76-77.
[3]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6(3):43-44.
[4]崔小兵.概率论方法在微积分中应用[J].科技与生活,2012年第17期:121.
作者简介:
陈洁(1981.08-),女,云南景洪人,本科,讲师,研究方向,数学与应用数学。
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