单位文秘网 2021-07-17 14:27:12 点击: 次
摘要:先论述了数学直觉思维的含义和特征,并通过一个实例来探讨直觉思维在概率论教学中的作用。其中在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解释。
关键词:直觉思维;概率论;特征函数
中图分类号:O211.5 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2014)32-0106-02
数学直觉思维能力的培养是目前概率论教学中经常被忽视而又非常重要的实践内容,它与逻辑思维能力的培养在数学教育中有着同样的作用。
一、数学直觉思维的概述
(一)数学直觉思维的含义
数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种直接的理解。这种数学直觉与直观、直感有区别。数学直观与直感都是以真实的事物为对象,通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。直觉思维和逻辑思维是两种既互补又不同的思维形式,两者辩证运动推动着数学思维过程不断发展。而直觉思维以知觉为基础,以想象为出发点,非逻辑推理为方法,因而更富有创造性,它代表了创造思维的本质特征。
(二)数学直觉思维的特征
数学直觉思维的特征主要有:(1)产生的突发性。头脑中各种思维元素调动、组合以求在极短的时间内实现认识过程的突变和飞跃。(2)过程的跳跃性。数学直觉思维依赖于思维中的想象、猜测和洞察力去直接把握事物,直接由已知条件跳到结论,呈跳跃状。(3)形式的非逻辑性。数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式。它是人脑对于数学结构及其间的某种直接的领悟或洞察,是一种不同于
普通推理过程的直接悟性。(4)原则的整体性。在直觉思维过程中,思维的主体常表现为对事物的整体洞察、全局把握,暂时舍弃局部的、细节的、非本质的部分,即整体的确定性,细节上的模糊性。
二、特征函数的新解释
特征函数是概率统计中一种有力的工具,文献[2]和[3]讨论了它的一些性质和应用,但它涉及傅立叶变换,内容比较枯燥,运算比较繁杂。鉴于此,笔者在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释和数学直觉思维中数学直觉启发的基础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新的直观解释。
(一)基于傅立叶变换物理意义的直观解释
显然特征函数是一种特殊的傅立叶变换,那么它也就有傅立叶变换所具有的物理意义[5]。
离散情况下,首先φ(t)=■p■e■的物理解释:在振动理论中,把特征函数φ(t)看作一个振动,e■相当于单位谐波,φ(t)可解释成由简谐振动p■e■(k=0,±1,±2,……)叠加产生的运动。
再次p■=■■φ(t)e■dt的物理解释:p■在振动■φ(t)e■dt理论中,是由简谐振动dt叠加(即积分)产生的运动。
连续情况下,特征函数也有相应的物理解释。
特征函数φ(t)=■f(x)e■dx的物理解释:在振动理论中,把特征函数φ(t)看作一个振动,e■相当于单位谐波,特征函数φ(t)即可理解为由简谐振动f(x)e■dx叠加(即积分)产生的运动。
同理,f(x)=■■φ(t)e■dx也有类似的物理解释:在振动理论中,f(x)是由一切角频率为t的简谐振动■
φ(t)e■dx叠加(即积分)产生的运动,■φ(t)为初始向量,e■为单位谐波。
(二)基于坐标分解的新的直观解释
受傅立叶变换物理意义的启发,得到基于坐标分解[6]的特征函数的新解释。
离散情况下,特征函数φ(t)=■p■e■的新解释:φ(t)可以看作是以e■(k从-∞到∞)为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k维的坐标值为p■。
p■=■■φ(t)e■dt的新解释:p■可以看作是以
e■dt(t从-π到π)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,■φ(t)是在基e■dt下的坐标值。
同理,连续情况下,特征函数也有相应的新解释:
特征函数φ(t)=■f(x)e■dx的新解释:φ(t)可以看作是以e■dx(x从-∞到∞)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,f(x)是在基e■dx下的坐标值。
f(x)=■■φ(t)e■dt的新解释:f(x)可以看作是以e■dt(t从-∞到∞)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,■φ(t)是在基e■dt下的坐标值。
(三)新解释在求分布函数时的应用
如求下列各随机变量ξ的概率分布,已知其特征函数分别为:
(1)cost
(2)cos2t
由文献[4]中的反演公式可解决此问题,即利用公式:
F(x1)-F(x2)=■■■■φ(t)dt
但计算过程比较繁杂。如果利用本文提出的新解释去求这个问题就非常简单,现用此法求解。
分析:只要将特征函数φ(t)进行坐标分解即可,φ(t)可以看作是以e■(k从-∞到∞)为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k维的坐标值为pk,由文献[4]中的唯一性定理可知pk即为概率分布。
解:(1)由Euler定理
cost=■
=■eit×1+■eit×(-1)
=P(x=1)eit×1+P(x=-1)eit×(-1)
由唯一性定理可知,它的概率分布唯一,P(ξ=1)=0.5,P(ξ=-1)=0.5,即为ξ所求的概率分布。
(2)cos2t=■
=■eit×0+■eit×2+■eit×(-2)
=P(x=0)eit×0+P(x=2)eit×2+P(x=-2)eit×(-2)
由唯一性定理可知,它的概率分布唯一,P(ξ=0)=0.5,P(ξ=2)=0.25,P(ξ=-2)=0.25,即为ξ所求的概率分布。
可见,基于坐标分解的特征函数的新解释能加深我们对特征函数的理解,而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简。
综上可见,培养数学直觉思维对于培养学生的学习兴趣和创新思维具有重要意义。但我们也应看到:直觉的认识一般具有较大的片面性,直觉思维在数学学习过程中会产生误导作用,这往往表现为对于已建立的直觉的不适当应用,也即是将仅仅合适于某些特例的结论错误地进行推广。最后,直觉“可靠性”又往往会导致过度的自信。特别是表现为认识上的“先入为主”以及严重的“排它性”,这样就导致思维的“过早封闭”并表现出不应有的“顽固性”。这样,充分看到直觉思维的这种“负载”对创造性思维活动的影响是完全必要的,同时也应学会如何去控制这种直觉对于认识活动的影响。
基金项目:中国民航大学科研启动基金(2013QD25X)。
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