单位文秘网 2021-07-19 08:20:44 点击: 次
摘要:本文针对蒲丰投针问题,运用概率的性质及数学期望两种方法,并以蒲丰投针问题的基本结论为基础,将结论进一步推广。
关键词:蒲丰投针 概率 数学期望
一、引言
蒲丰投针问题是概率中非常有代表性的问题,它是第一个用几何形式表达概率问题的例子,其结论具有很强的理论与实际意义。但在其模型中只是针对已知长度的的针,本文从多角度审视和思考问题,灵活的选取已知条件信息,运用发散思维,以蒲丰投针问题的基本结论为基础,层层扩展,从概率事件的关系及数学期望两种不同的角度,将其结论进一步推广,使其结论更具有一般性,不但加深了对其理论的认识,同时也扩大了其应用范围。
二、结果的证明与推广
蒲丰投针问题:平面上有一簇间距为a的平行线,向该平面随意投掷一枚长度为l的针(l<a),试求针与直线相交的概率P。
解:应用几何概率分布,易得,详见参考文献[1]
下面将这个问题进一步的推广:推广到三角形,即把针换成三角形薄片。将三角形的三边长设为l1,l2,l3,事件Ai为li(i=1,2,3)边压线,将边看成针,那么由上面结果可知,。
方法一:利用事件的关系及概率的性质。
三角形压线的事件为A1∪A2∪A3,直线不能只穿过三角形的一条边,同样也不能同时穿过三条边。
即P(A1∪A2∪A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3),P(A1A2A3)=0。
而P(AiAj)=P(AiAjAk+AiAjAk)=P(AiAjAk)+P(AiAjAk)=P(AiAjAk),其中i,j,k分别取1,A3)=P(A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)又因为P(A1∪A2∪A3)=P(A)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)所以有2[P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)]=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
即其中L为三角形的周长。
进一步的推广,将三角形薄片换成凸n边形薄片,同样利用事件之间的关系及概率性质,仍有结果,其中P为n边形薄片压线的概率,L为n边形薄片的周长,a为平行线的间距。
方法二:以数学期望为桥梁,反解概率。
对于三角形薄片,令,
i=1,2,3,则交点个数ξ的期望为WξE(X1X2+X3)=,其中L为三角形的周长又ξ的分布列为,由期望的计算公式,有Eξ=2P
所以,,即
对于凸边形薄片,利用微元法的思想,在薄片边缘任意插入n个点,依次连接这些点,构成一个凸n边形,并记n条边依次为li,i=1,2,…,n令,i=1,2,…,n,则交点个数ξ的期望为Eξ=,其中L为凸边形的周长。
又ξ的分布列为,由期望的计算公式,有Eξ=2P
所以,,即
此种方法是将数学期望与微元法的思想综合应用,将规则的几何薄片扩展到凸边形薄片,使蒲丰问题更具普遍意义。
综上,我们有如下结论:
向一簇平行线投掷一薄片(针是特殊薄片,宽为零),薄片边缘是凸曲线,周长为L,平行线间距为a,则薄片压线的概率。
三、结语
本文从两种不同的角度出发,运用概率性质及分析中的微元法的思想,将蒲丰问题中的“针”扩展到“凸”曲线,丰富了蒲丰问题,扩大了其结论的应用范围。
参考文献:
[1]中山大学数学系梁之舜等。概率论及数理统计(上册)[M]。北京:高等教育出版社,1988。197。
[2]王梓坤。概率论基础及应用[M]。北京:科学出版社,1979。
[3]苏淳。概率论[M]。北京:科学出版社,1979。
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