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摘要:用微分求积单元法研究了粘弹性饱和土隧道的频域响应问题.首先,基于饱和多孔介质混合物理论,分别建立了频域内隧道耦合系统中粘弹性饱和土和粘弹性衬砌的控制方程,给出了耦合系统的边界条件以及饱和土和衬砌连接面上满足的连接条件.其次,发展了求解该耦合系统的微分求积单元法,利用微分求积单元法,在频率域内对耦合系统的数学模型进行了离散,并利用NewtonRaphson迭代法得到了系统的数值解.最后,对耦合系统的频域响应进行了分析,考察了参数的影响,同时也验证了数值方法的有效性.
关键词:隧道; 粘弹性饱和土衬砌耦合系统; 多孔介质理论(PMT); 微分求积单元法(DQEM); 频域响应
中图分类号: O 342 文献标志码: A 文章编号: 10005137(2016)01000709
0 引 言
隧道是埋置于地层内的一种地下建筑物,是修筑在地面之下的通路或空间.随着我国经济的持续发展,综合国力逐渐增强,科学技术不断发展,隧道的发展前景非常广阔[1].隧道一般在饱和土中开挖,和单相土相比,饱和土具有含水量大、可压缩性高、承载能力低等特点.隧道开挖后地层中初始应力场释放,应力重新分布,从而引起隧道的变形.一旦处理不当,可能引起工程的过大沉降、倾斜甚至坍塌.为了确保隧道开挖后的稳定性,工程中常用衬砌材料进行支护.因此研究饱和土和衬砌的相互作用过程中的频率特征尤为重要.
饱和土和衬砌的相互作用过程中的频率特征是基于该过程中的动力特征研究得出的.基于饱和土的Biot理论,Kumar等[2]利用Laplace变换给出了饱和土体圆形隧道表面受随时间相依载荷作用下的位移场.胡文韬等[3]研究了隧洞压力引起的非均匀初始应力场对饱和土的纵向动力响应的影响.蔡袁强等[4]论述了爆炸荷载作用下饱和土中隧道的瞬态动力响应.Li[5]采用反应衬砌流量的渗透参数来描述隧道边界的半透水特性,并研究了饱和土体中圆形隧道的固结问题.Bardet[6]和Eringen[7]分别建立了粘弹性饱和介质中的应力应变关系.高华喜和闻敏杰[8]研究了具有半封闭隧道的饱和粘弹性土动力特性.Xie等[9]研究了粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌土相互作用问题,并考察了衬砌材料的流变特性.刘林超和杨骁[10]研究了粘弹性饱和土体中圆形隧道洞的稳态响应,得到了隧道洞边界作用轴对称荷载时的径向位移幅值、应力幅值和孔隙压幅值的稳态响应解.王国军[11]研究了饱和多孔介质粘弹性动力人工边界及其在隧道动力分析中的应用.
除了熟知的Biot理论,还有一些其他理论来描述多孔介质的特性,例如多孔介质理论和杂交混合物理论等.de Boer[12]基于连续介质混合物公理和体积分数的概念建立了完整的多孔弹性理论.该理论通过体积分数的概念,直接用若干微观性质来描述宏观性质,避免了杂交混合物理论中的繁杂公式,并在数学模型中比较容易地反映诸如动力特性、材料和几何非线性等效应.这样,de Boer模型提供了研究多孔介质特性的另一种途径.
本文作者基于de Boer多孔介质理论(PMT)[12],分析了深埋圆形隧道粘弹性饱和土衬砌耦合系统的频域响应问题.首先,建立了频域内耦合系统力学特性分析的控制微分方程、边界条件和土衬砌之间界面上的连接条件;其次,发展了求解耦合系统的数值方法—微分求积单元法(DQEM).在此基础上,利用DQEM对系统进行离散并数值求解.最后,分析了耦合系统的频域响应,考察了频率、土体和衬砌材料以及土体与衬砌界面处的孔隙水渗透参数等因素的影响.
1 问题的描述
2 求解问题的DQEM和控制方程的DQ离散化
微分求积法(DQM)是Bellman和Casti[13-14]在20世纪70年代初提出的一种求解偏微分方程的数值算法.该算法具有公式简单、使用方便、计算量少、精度高等优点.但是传统的DQM对于求解具有非规则区域和间断性条件的问题时,存在一些局限性.因此学者们发展了微分求积单元法(DQEM),并取得了一系列的研究成果[15-18].
DQEM基本步骤是:(1)将求解区域分割成若干个子区域或单元;(2)利用DQM将各子区域的微分方程和边界条件离散为代数方程组或者常微分方程组;(3)处理界面连接条件或者间断性条件,将各单元的离散化方程连接起来,集合成一个整体离散化的代数方程组或者常微分方程组;(4)采用适当方法求解,从而得到各节点的未知量.因此,DQEM是DQM 和近似分割原理的一种巧妙的组合,其关键在于如何处理单元间界面连接条件以及载荷间断性条件.
DQM的基本思路是将未知函数和它的各阶导数在某一离散点的值用解区域中所有离散点处沿某个方向的函数值的线性加权和来近似,其中权系数与具体问题无关,只与解区域中所选择的离散点和试函数有关.因此,任何一个微分方程都可以化成一个相应的代数或者微分方程.
考察图1所示深埋隧道粘弹性饱和土衬砌耦合系统的频域响应.这时耦合系统被划分成2个单元(即衬砌和饱和土体).给定计算区域为r0=10 m,r1=11 m,r∞=80 m,外载荷q~=3 kN/m2.衬砌和饱和土的材料参数列在表1中,其中nSOS和nFOF为初始状态时固相和流相的体积分数.计算中,在饱和土和衬砌中分别布置了NS=17和NL=17个结点.实际上,当在每个单元布置NS=NL=11个结点时,就可以得到令人满意的结果.能够看到,作者提出的DQEM具有计算量小,精度高,稳定性好和收敛性快等优点.
图3示出了粘弹性饱和土粘弹性衬砌耦合系统在衬砌不透水,即κ=0时,频率ω对位移ur,总应力σr和孔隙压p的影响.其中r=10 m处为隧道衬砌的内边界,r=11 m处为衬砌和饱和土的界面.能够看到,同一频率下,位移随着深度的增加而逐渐减小到0,孔隙压随着深度的增加而趋于0,应力随着深度的增加而增大到0.同时在高频振动下,孔隙压幅值明显增大,而位移和应力幅值变化相对较小.
图4示出了3种不同材料的耦合系统在衬砌不透水,即κ=0时,r=11 m处的位移ur和孔隙压p的曲线,其中,3种不同材料分别为材料1(粘弹性饱和土粘弹性衬砌)、材料2(粘弹性饱和土弹性衬砌)和材料3(弹性饱和土弹性衬砌),频率ω分别取0.1和10.可以看到,在低频下(ω=0.1),材料对位移ur和孔隙压p的影响不大.在高频下(ω=10),由于粘性效应的影响,粘弹性饱和土粘弹性衬砌耦合系统在同一深度处位移幅值小于粘弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的相应值,而粘弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的位移幅值小于弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的相应值.同时,频率ω对孔隙压有明显影响,在不同频率下,孔隙压性状也随之发生变化.
图5分别示出了当饱和土和衬砌材料都是粘弹性时,不同的渗透参数κ对位移ur和孔隙压p的影响,其中ω=0.1,10.当κ=0时表示衬砌不透水,当κ→∞时表示衬砌理想透水.能够看到,渗透参数κ对位移和孔隙压有明显影响.在不同频率下,孔隙压随κ的变化性状也随之发生变化.
4 结 论
基于PMT,利用DQEM,研究了深埋圆形隧道粘弹性饱和土衬砌耦合系统的频域响应问题.首先建立了耦合系统频域响应分析的数学模型.其次发展了求解该问题的DQEM,并利用所发展的DQEM,在频率域内对控制微分方程进行了离散,得到一组关于r的代数方程组.最后利用NewtonRaphson迭代法求得了问题的数值解,分析了耦合系统的频域响应,考察了参数的影响.能够看到,同一频率下,位移随着深度的增加而逐渐减小到0,孔隙压随着深度的增加而趋于0,应力随着深度的增加而增大到0.在低频下(ω=0.1),材料对位移和孔隙压的影响不大.在高频下(ω=10)下,由于粘性效应的影响,粘弹性饱和土粘弹性衬砌耦合系统在同一深度处位移幅值小于粘弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的相应值,而粘弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的位移幅值小于弹性饱和土弹性衬砌耦合系统的相应值.同时,频率ω和渗透参数κ对位移和孔隙压有明显影响,在不同频率和渗透参数下,孔隙压性状随之发生变化.
本文作者提出的DQEM具有计算量小,精度高,稳定性好和收敛性快等优点,可用来分析计算类似深埋圆形隧道粘弹性饱和土衬砌耦合系统以及更复杂的耦合系统的动力学响应.
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Abstract:The frequency responses of tunnel in viscoelastic saturated soil are studied using the differential quadrature element method.Firstly,based on the porous media theory,the governing equations of viscoelastic saturated soillining coupled system in deep circular tunnel on the frequency domain are presented,and the corresponding boundary conditions as well as the joint conditions are derived.Then,the differential quadrature element method is developed and applied to discretize the mathematical model of the coupled system,and the NewtonRaphson method is adopted to solve the discretization equations.Finally,the frequency responses of the coupled system are analyzed,the effects of the parameters are considered,and the validity of the numerical method is verified.
Key words:tunnel; viscoelastic saturated soillining coupled system; porous media theory (PMT); differential quadrature element method (DQEM); frequency response
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