单位文秘网 2021-07-18 08:11:40 点击: 次
有一个笑话:一个人发明了插头,但是世界上却还没有对应的插座. 人们普遍认为新发明的意义在于运用于实际,改变我们的生活,哪个发明家会弄出一个不知道有什么实际用途的玩意呢?在很多人眼里,数学除了折磨广大学子之外,是没有什么实际用途的东西.
然而,人类的辉煌文明终究离不开数学的功劳,只不过,数学成果从被发现到产生实际效益,通常需要一个较长的周期. 现在人们解决实际问题时,使用的很多数学工具往往有成百上千年的历史. 我们的前辈们发现这些数学定理时,也很少想到它将来的实际用途. 数学本身的严谨性使得它能长久地经受时间的考验,一个定理被证明成立,它便不会因新的定理而被推翻或修改.
数学研究总是跑在时代的前面,因此无法预测将来这些研究可以被用在哪些领域. 数学家们只有专心于纯粹的理论研究,然后等待其他领域的天才将数学应用于实际. 如果终止现在貌似“无用”的数学研究,将来可能找不到解决问题之道. 有很多很久之前发现的数学理论是在最近才派上用场的,例如数论被应用于密码学,计算机程序上有各种算法,虚数被用于飞机飞行的复杂计算等等.
从四元数到古墓丽影
数学史上有一个著名的故事:四元数提出源自于1843年10月16号,爱尔兰数学家威廉·罗恩·汉密尔顿爵士在和妻子散步时突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解,并且创造了形如a+bi+cj+dk的四元数,为了赶紧记录下这一思想火花,汉密尔顿爵士顾不得保护文物,立刻将此方程刻在了其经过的布鲁穆桥上. 当时汉密尔顿爵士正在研究扩展复数到三维空间,桥上的灵光一现,使得他发现了四元数,直接把研究扩展到了四维.
汉密尔顿爵士随后将大部分精力都用在了推广四元数的概念上,因为四元数有着漂亮的数学形式,而且能够用于地理学、力学、和光学的实际研究中. 在汉密尔顿爵士死后,这一火炬传到了爱丁堡大学自然哲学教授皮特·格恩里·泰特手中. 著名物理学家威廉·汤姆逊(也被成为开尔文男爵,热力学温标单位开尔文便以他的名字命名)曾经说:我和泰特在四元数上进行了长达38年的争论.两人一度达成一致,同意在两人合著的《自然哲学论》中需要的地方引入四元数的概念. 然而,在最终的手稿中,还是完全没有出现四元数的身影. 这说明,即使是开尔文男爵,也没有完全意识到四元数的重要性.
19世纪末,向量微积分的出现更是抢走了四元数的光芒. 到20世纪初,数学家们依然更倾向于开尔文男爵的态度,对四元数置之不理. 人们认为四元数空有漂亮的数学结构,没有什么实际用途,不过是数学史上一个无足轻重的注笔罢了.
令人意外的是,在计算机时代,四元数终于找到了自己的价值. 计算机教授要求学生们必须掌握四元数的知识以进行数学建模. 在三维几何旋转计算中,使用四元数比使用矩阵更有优势. 因此,在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域,四元数都是极为重要的工具.
在150年之后,泰特和汉密尔顿爵士的成果终于得到了认可,尽管他们没有机会玩一把《古墓丽影》游戏,但是研究成果得以帮助今天建立起了全球数以千亿计的计算机产业,他们也应该感到欣慰了.
从堆橙子到“猫”
1998年,一则数学新闻突然成了各大媒体报道的焦点. 来自匹兹堡大学的托马斯·海尔斯证明了开普勒猜想,即在一个箱子中放置大小一样的球,采用“面心立方体”的堆积方式(即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处)可以使箱子利用效率最高. 也就是说,水果商们在箱子里装橙子的办法是最有效的. 海尔斯解答了开普勒在1611年提出的难题,但是水果商们好像并不买账. 一位水果摊小贩在接受电视台采访时说:“这简直是在浪费时间和纳税人的钱!”但开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不仅仅是用来装橙子这么简单,今天关
于最密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具,是信道编码和纠错编码研究的核心内容.
1611年,约翰·开普勒提出的水果商堆橙子的办法是空间利用效率最高的这一猜想,但他自己却没有办法给出证明. 后来,人们发现,这是一个极难解决的问题. 直到1940年,匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯才解决了圆环堆积问题——可以看做是开普勒猜想的简化版. 同样在17世纪,牛顿和大卫·格里高里就关于牛顿数问题进行过争论,即与一个n维球外切的等维球个数. 容易看出,二维的牛顿数是6(如图). 牛顿确信三维的牛顿数是12,但是直到1953年,科特·舒特和范·德·维尔登才予以证明.
2003年,奥莱格·穆辛证明了四维的牛顿数是24;关于五维的牛顿数,目前只发现它在40到44之间;而我们知道八维的牛顿数是240,于1979年被明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克证明;他同时还发现24维的牛顿数是196560. 八维和二十四维问题的证明都比三维的牛顿数要简单,而且,它们还与两种极为密集的球体填充问题相关:八维E8点阵和二十四维Leech点阵.
这些发现令人惊奇,不过这些让普通人一头雾水的概念是否有实际意义?20世纪60年代,一位叫戈登·朗的工程师对此持肯定态度. 朗当时正在专心设计调制解调器系统,并且积极的从数学海洋中寻找任何有用的工具. 他需要从一个繁忙的频道(例如一个电话线)发出一个信号,这通常要选择一系列的音调来组成一个信号. 但是由于一个频道传递的信号过多,经常出现信号无法被完整接收的情况. 于是,朗将组成信号的声音用一串数字表示,信号即可被当做一个个包含信息的“小球”,为了使发送的信息量达到最大化,这些“小球”必须被尽可能紧密地排列起来.
20世纪70年代晚期,朗发明了采用E8堆积法传递八维信号的调制解调器. 由于这项技术可以通过电话线进行信号传播,不必重新设计信号电缆,因此大大加快了互联网的发展. 然而,也有人对朗的成就唱反调. 曾经对朗的数学知识提供帮助的唐纳德·考克斯特说:“我感到惊骇,一个美妙的数学理论就这样被玷污了!”
从赌徒到精算师
文艺复兴时期,意大利出现了一位大学者,同时也是一位著名的赌徒卡尔达诺. 卡尔达诺精通数学、物理、占星学,在当时被称作百科全书式的学者. 然而卡尔达诺的赌术并不高超,他在赌桌上输掉了大把的家产. 不过他的智慧还是给后人留下了宝贵财富,他在16世纪中叶开始研究概率论,创作了《论赌博游戏》一书,并且在其死后的1663年才出版. 这本书被认为是第一部概率论著作,开创了现代概率论,也为今天的精算科学打下了基础.
一个世纪后,法国赌徒梅内面临一个难题. 他经常玩的一个游戏是连续仍四次骰子,赌其中能否至少出现一次6. 在这个游戏中,梅内赢多输少. 在另外一个游戏中,一次扔2个骰子,连续扔24次,赌其中是否可以至少扔到一次2个6. 梅内认为这两个游戏赢钱的概率是相等的,但他发现,玩第二个游戏却是输多赢少. 于是他向朋友帕斯卡尔求助,帕斯卡尔随后在1654年和费马在信件往来中探讨此问题,两人的通信为概率论的发展打下了基础. 1657年,荷兰人惠更斯在两人研究成果的基础上发表了《论赌博中的计算》,这也是第一部公开发表的概率论著作.
十七世纪晚期,雅各布·伯努利发现,概率论远远不止用于赌博. 他写下了《猜度数》,书中巩固和扩展了卡尔达诺、费马、帕斯卡尔和惠更斯等人的研究. 在卡尔达诺研究的基础上,他提出了伯努利实验,他发现,随机掷一次骰子,每个数字出现的概率都是■,但若连续掷6次骰子,也不可能确保每个数字都出现. 伯努利还提出了大数定理,指在一个随机事件中,随着试验次数的增加,事件发生的频率越趋近于一个稳定值.
过去的保险公司只敢卖出有限数量的保单,因为卖出越多的保单,看上去赔付的风险也越高,保险公司担心卖出过多的保单会使公司不堪重负而垮掉. 直到十八世纪初期,保险公司才开始像现在一样大肆推销保险,因为伯努利的大数定理证明,保单卖的越多,赔付的概率就越接近一个稳定的值,风险因此是可控的.
毫不否认,数学家们研究的问题往往比较抽象和超前,现在看不出有什么实际应用的意义. 数学中有很多无法用数学以外语言表述的概念(例如一个五维世界),但这些概念是数学这门学科的基石,也正是这些看似没有实际用途的概念构成了数学的奇妙与美丽. ■
(本文选自果壳网)
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