单位文秘网 2021-07-18 08:14:59 点击: 次
摘 要:小概率事件原理是概率论中一个基本且实用的原理。本文从日常生活的谚语引出了小概率事件原理的内容,并以实例说明小概率原理在概率论及假设检验中的应用,最后给出一点小概率事件原理在日常生活中的一些启示。
关键词:小概率事件 小概率事件原理 启示
在概率论和数理统计的学习中,我们涉及到小概率事件一词,下面我们就来具体谈谈有关小概率事件的原理及其应用。
在中国五千年的文化长河中,流传着许多诸如“常在河边走,哪有不湿鞋”、“常走山路必遇虎”的谚语,典故,它体现了很强的哲学思想。儿时,常对这些谚语感到不知所云,难解其意。现在看来,这些谚语从数学角度来讲,说的就是小概率事件。意思是:一个人如果总在河边走的话,总有一天鞋会被水弄湿的。一个人往山上走一次,遇见老虎的可能性很小,但是如果常往山上走,遇见老虎的可能性就很大,总有一天会遇见老虎的。
在例如,有一个人在山里丢烟头,他认为丢烟头引起火灾是不可能的。的确是这样,对他来说丢一个烟头(做一次试验)引起火灾这件事是小概率事件,但他忽略了另一方面,如果人人都乱丢烟头(不断的独立重复进行试验),则火灾(小概率事件)迟早会发生的概率为1(几乎一定要发生),这是人人皆知的。
1.小概率事件的原理
小概率事件应从两方面认识它:一方面由实际推断原理知道,小概率事件A在一次实验中几乎是不发生的;另一方面,在不断地独立重复实验中,小概率事件A迟早发生的概率为1。
前者是讲:在实践中,人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”,这一经验称为“实际推断原理”。事实上,“小概率事件”通常是指发生概率在0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准,主要是为了查表方便,没有其他特别的含义。对于这类实验来说,在大量重复的实验中,平均每100次或20次才发生一次,所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲:尽管“小概率事件”,在一次实验中几乎不发生,但如果实验的次数多了,该事件当然是很可能发生的。
2.小概率事件原理的应用
2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生
数学中的小概率原理认为:在一次实验中,概率很小的事件实际上不可能发生。这个“很小”,一般理解为在个别事件中发生的概率小于5﹪,这样的事件称为小概率事件。小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中,某个小概率事件发生了,则认为出现了不合理的现象,由此可以推断原来的条件或假设是错误的。
这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。
小概率原理的推断方法是概率性质的反证法,首先提出假设,继而根据一次实验的结果进行计算,最后按一定的概率标准作出鉴别。
其一般程序是:
第一步:先根据问题的题意提出原假设H0;
第二步:然后在原假设H0 成立的条件下,寻找与问题有关的小概率事件A,并进行一次试验;
第三步:再观察试验结果,看A是否发生?若发生则与小概率事件在一次试验中不可能发生原理矛盾,从而拒绝原假设H0,否则只能接受原假设H0。
案例:对盘踞在孤岛上敌军实施海上封锁。为打击敌物资货运船队,需对敌船队运输规律作准确推断。在某星期的空中侦察中,发现那一星期的敌船的12次偷运都是在星期二和星期四进行的。
问敌船在偷运时间是否曾作过规定?
解:(1)假设敌船在偷运时间上没有规定,故应认为每次偷运在一星期的任一天进行是等可能的。这时事件A:“12次偷运都在星期二或星期四进行”发生的概率P(A)=212/712≈0.0000003,即千万分之三。这是一个小概率事件。千万分之三意味1000万个星期中大概只有约三个星期发生这种事件,因此这个事件在一次试验(检查)中不会发生的,而现在一次侦察试验中发生了,这种不正常现象的发生只能说明假设有问题,故可推断敌船在偷运时间上有规定。
在假设检验的问题中,几乎没有一个绝对可靠的判断,因为“弃真”与“存伪”这两类错误总是与之相伴,所以,作任何判断、任何结论都要承担风险,并且风险无法避免。那么怎样才能将风险降到最低程度?数理统计中一般就用“小概率原理”的“小”来度量和控制这个风险的程度。
2.2在不断重复的独立试验中,小概率事件迟早发生的概率为1。
这种推断的理论依据是:
问题:设在一次随机试验中某一事件A出现的概率为?着(?着<0),则不论?着如何小,只要不断地独立重复作此试验,A迟早会出现的概率为1.
证明:A迟早会出现的意思是,只要试验次数无限增多,A总会出现。
设AK={A于第k次试验中出现},则
P(AK)=?着,P(AK)=1-?着,
则在前n次试验中A都不出现的概率为
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=(1-?着)n
于是,在前n次试验中A至少出现一次的概率为
Pn=1-P(A1A2…An)=1-(1-?着)n
把次试验一次接一次的做下去,即让n→∞,由于0
上述证明用到的事件的独立性的定义。
例如:用步枪射击飞机,飞机被击中的概率为0.004(很小),但用250支步枪同时射击时,飞机被击中的概率为:P=1-(1-0.004)250=1-0.996250≈0.63(不太小)。
一般地,设事件A发生的概率为P>0,不论P怎样小,n次独立试题中A会发生的概率Pn=1-(1-P)n,当n→∞时,总有Pn→1,即当大量进行实验时,A几乎一定会发生。
3.日常生活中的启示
小概率事件在一次实验中几乎是不发生的。在实际生活中,我们知道雷电伤人是小概率事件,飞机失事是小概率事件,这些小概率事件在一次实验中几乎是不发生的。但是小概率事件并不是绝对的在一次实验中不发生,它还有可能发生。如果小概率事件在一次实验中发生了,通常人们把它叫做意外。对这些不利因素的小概率事件,我们要警惕它的存在性,防患于未然。
另一方面,小概率事件在多次实验中迟早会发生的。在平常的生活中,人们常常用“水滴石穿”, “只要功夫深,铁杵磨成针”来形容有志者是竟成,如果用一滴水来击石,一次实验要把石头击穿是小概率事件,但是如果次数多了,按照上述证明,石头被水击穿还是有可能的。由这个例子可以看出,一件微不足道的小事,只要你坚持做下去就会产生不可思议的结果。所以我们在追求目标实现的过程中,不必放弃每一次努力。
参考文献:
[1]茆诗松、程依明、濮晓龙.《概率论和数理统计教程》.高等教育出版社,2004.
[2]同济大学应用数学系,工程数学.《概率论和数理统计简明教程》.高等教育出版社,2003.
(责任编辑:单位文秘网) )地址:https://www.kgf8887.com/show-156-66113-1.html
下一篇:变态变换杀人案
版权声明:
本站由单位文秘网原创策划制作,欢迎订阅或转载,但请注明出处。违者必究。单位文秘网独家运营 版权所有 未经许可不得转载使用