单位文秘网 2020-08-30 16:38:47 点击: 次
江苏省南京市外国语学校仙林分校2020年高一数学理月考试题
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{an}的公差,且,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )
A. 9 B. 10 C. 10和11 D. 11和12
参考答案:
C
【分析】
利用等差数列性质得到,再判断或是最大值.
【详解】等差数列的公差,且,
根据正负关系:或是最大值
故答案选C
【点睛】本题考查了等差数列的性质,的最大值,将的最大值转化为中项的正负是解题的关键.
2. 下列命题中,正确的有( )个
①对应:是映射,也是函数;
②若函数的定义域是(1,2),则函数的定义域为;
③幂函数与图像有且只有两个交点;
④当时,方程恒有两个实根.
A.1 B.2 C. 3? D.4
参考答案:
C
对于①,对应:是映射,也是函数;符合映射,函数的定义,故①对;
对于②若函数的定义域是(1,2),则 故函数的定义域为,故②对
对于③幂函数的图像过 ,图像过 所以两个图像有且只有两个交点;故③对;
对于④当时,单调递增,且函数值大于1,所以当时,方程只有一个实根.故④错;
故选C
3. 已知函数f(x)=|lgx|,0<a<b,且f(a)>f(b),则(
)
A.ab>1 B.ab<1 C.ab=1 D.(a﹣1)(b﹣1)>0
参考答案:
B
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】判定f(x)的单调性,得出a,b的范围,再根据对数运算性质得出结论.
【解答】解:f(x)=|lgx|=.
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∵0<a<b,且f(a)>f(b),
∴0<a<b<1,或,
(1)若0<a<b<1,则ab<1,(a﹣1)(b﹣1)>0;
(2)若,则lga+lgb<0,即lgab<0,
∴ab<1.
综上,故选B.
4. 设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=(? )
A.[0,2]? B.[1,2] C.[0,4] D.[1,4]
参考答案:
A
5. 一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为(
)
A. 1:3 B. 3:1 C. 2:3 D. 3:2
参考答案:
D
【分析】
设圆柱的底面半径为,利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式,算出球的半径,再利用圆柱与球的体积公式加以计算,可得所求体积之比.
【详解】设圆柱的底面半径为,轴截面正方形边长,则,
可得圆柱的侧面积,
再设与圆柱表面积相等的球半径为,
则球的表面积,解得,
因此圆柱的体积为,球的体积为,
因此圆柱的体积与球的体积之比为.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积和体积公式,以及球的表面积和体积公式的应用,其中解答中熟记公式,合理计算半径之间的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 已知,,,则a,b,c的大小关系是
A.? B.? C. D.
参考答案:
B
7. 设a>0,b<0,A (l,-2),B(a,-l),C(-b,0),若A,B,C三点共线,则最小值是
A. ? B. ? C.6 D.9
参考答案:
D
8. 在△ABC中,如果A=60°,c=4,a=4,则此三角形有(
)
A.两解? ? B.一解 C.无解? D.无穷多解
参考答案:
B
略
9. 若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则
A. B.? C. D.
参考答案:
A
求解指数函数的值域可得 ,
求解二次函数的值域可得 ,
则集合A是集合B的子集,且 .
本题选择A选项.
10. 已知,,设是不等式组,表示的平面区域内可行解的个数,由此可推出,,……, 则 ( )
A.45 ?B.55 C.60 D.100
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点在第三象限,则角的终边在第 象限.
参考答案:
二
12. 关于x的方程sin=k在[0,π]上有两解,则实数k的取值范围是______.
参考答案:
[ 1,)
略
13. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为:a,b,c,若
则角A= .
参考答案:
30°
略
14. 在中,角所对的边为,若,且的外接圆半径为,则________.
参考答案:
或.
【分析】
利用正弦定理求出的值,结合角的取值范围得出角的值.
【详解】由正弦定理可得,所以,,
,或,故答案为:或.
【点睛】本题考查正弦定理的应用,在利用正弦值求角时,除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意,考查计算能力,属于基础题.
15. 给出以下命题:
①存在两个不等实数,使得等式成立;
②若数列是等差数列,且,则;
③若是等比数列的前n项和,则成等比数列;
④若是等比数列的前n项和,且,则为零;
⑤已知的三个内角所对的边分别为,若,则一定是锐角三角形。其中正确的命题的个数是( )
A. 1个? B. 2个 C. 3个 D. 4个
参考答案:
B
16. 给出四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推得<成立的是________.
参考答案:
①②④
解析:<?<0,所以①②④能使它成立.
17. 已知p(﹣1,1)是角α终边上的一点,则cosα= _________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
是定义在上的减函数,满足.
(1)求证:;
(2)若,解不等式.
参考答案:
(1)证明:∵可得,
∴. ? ………………...4分
(2)∵,,…………………………..6分
由(1)知, ……………………………………....8分
又是定义在上的减函数,,∴,……………....9分
由,即,……………………………......10分
∴,∴.又,∴.………………………….........11分
故不等式的解集是.………………………………………………...12分
19. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,点D是AB的中点.求证:
(1)AC⊥BC1;
(2)AC1∥平面B1CD.
参考答案:
【考点】LS:直线与平面平行的判定;LO:空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,即可证得AC⊥BC1;
(2)取BC1与B1C的交点为O,连DO,则OD是三角形ABC1的中位线,OD∥AC1,而AC1?平面B1CD,利用线面平行的判定定理
即可得证.
【解答】证明:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,
又AC⊥BC,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1.
(2)设BC1与B1C的交点为O,连接OD,BCC1B1为平行四边形,则O为B1C中点,又D是AB的中点,
∴OD是三角形ABC1的中位线,OD∥AC1,
又∵AC1?平面B1CD,OD?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.
20. 如图,在三棱柱中,底面,且为等边三角形,,为的中点.
(1)求证:直线平面;
(2)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1).证明:如图所示,
?
连接交于,连接,
因为四边形是平行四边形,所以点为的中点,
又因为为的中点的中点,
所以为的中位线,所以,
又平面,平面,
所以平面.
2.证明:因为是等边三角形,为的中点,
所以,
∴,
∴
21. 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14,且恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)分别求数列{an},{bn}的前n项和,;
(2)记数列的前n项和为,求.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由已知条件推导出,,由此求出,的通项公式以及,的前项和, .(2)由(1)可知,利用错位相减法求即可.
【详解】(1)解:设的前四项为,则,
解得或(舍去),,
所以.
又,所以,即.
所以数列的首项为,公比,
所以.
(2)因为,? ①
故 ②
①-②得
.
【点睛】本题考查等差数列、等比数列求通项公式,错位相减求和,考查计算能力,属于基础题.
22. (本小题满分13分,第(1)小问8分,第(2)小问5分)
已知点为坐标原点,向量==,=.
(1)若点共线,求实数的值;
(2)若为直角三角形,且为直角,求实数的值.
参考答案:
解:(1)由已知,得
=-=,? ………2分
? =. ………4分
共线,
? ………6分
………8分
(2)由题意知:?, ………9分
………11分
………13分
略
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