单位文秘网 2021-07-18 08:17:53 点击: 次
企业经营决策,加强业务管理,提供信息、咨询、监督等多功能服务. 所以,统计工作是各行各业的业务活动都离不开统计. 本章“统计”部分是在初中“统计初步”和高中“概率”的基础上学习的,其内容可看成是以上两章的深入和扩展,在数理统计中要研究两个基本问题.(1)如何从总体中抽取样本?抽取样本不但要保证公平性,而且要有代表性;(2)如何通过对所抽取的样本进行计算和分析,对总体的相应情况作出推断?关于从总体中抽取样本的基本原则,在初中“统计初步”中已进行了渗透,这为高中讲述抽样方法作了一定的铺堑,本章介绍的抽样方法不仅在内容上比初中更为系统和详细,而且运用了刚刚学过的概率的知识和观点来表述和解释抽样的有关问题,这就可使学生对抽样问题的理解更加深入一步,关于用样本估计总体问题,提出了总体,个体,样本,样本容量等概念,并且样本平均数去估计总体平均数,因此,本章介绍的用样本方差估计总体方差,用样本分布估计总体分布,理解这些数字特征的本质尤其重要.
第一单元 计数原理、排列组合、二项式定理
【考点聚焦】
计数原理主要内容有:分类加法计数原理、用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题、排列、组合的概念、排列数公式、组合数公式、用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【经典解析】
考点1:利用计数原理、排列组合解决实际问题
例1. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了多少条毕业留言.(用数字作答)
【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路:①两两彼此给对方仅写一条毕业留言,相当于每人写了39封信件;②一共有40人.
解析:依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于完成一个40步的工作,每步39种方法,所以全班共写了40×39=1560条毕业留言,故应填入1560.
【收获与点评】理解乘法原理、加法原理的概念,能把实际问题转化为数学问题,合理利用两个原理解决实际问题.
例2. 7名师生排成一排照相,其中教师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下各有多少种不同的排法?
(1)两名女生必须相邻而站;(2)4名男生互不相邻;(3)4名男生不都相邻;(4)老师不站在中间,女生不站在两端;(5)改站两排,老师和女生站前排,男生站后排.
【思维生长点】由题目可获得的主要信息及解题思路:①把实际问题转换成数学问题;②理解排列组合的概念,并合理地应用模型,如插空法、捆绑法等.
解析:(1)2名女生站在一起有A22种,2名女生捆在一起成为一个元素,与其余5人有A66种,故有A22·A66=1440(种);
(2)先排老师和女生有A33种,有4个空隙,再插入男生有A44种,故有A33· A44=144(种);
(3)4名男生都相邻有A44· A44= 576(种),7名师生排成一排全排列是A77=5040(种),故4名男生不都相邻有5040-576=4464(种);
(4)解法1:老师站两侧之一,另一侧由男生站有A12· A14·A55=960(种);两侧全由男生站,老师站除两侧和正中外的其余4个位置,有A24· A14·A44=1152(种),故有960+1152=2112(种);
解法2:女生站中间有A12种,另一女生站中间和两端以外的4个位置有 A14种,其余任意排有 A55种,此类有A12· A14·A55=960(种);女生不站在中间也不站中间也不站在两端,女生有A24种排法,中间有A14种排法,其余任意排列有A44种,此类有A24· A14·A44=1152(种),故有960+1152=2112(种);
(5)老师和女生站前排有A33种,男生站后排有A44种,故有A33·A44=144(种).
【收获与点评】这是一个有限制条件的排队问题,可分清特殊元素和特殊位置,找准分类标准,灵活选择直接法、间接法、捆绑法、插入法等技巧.
例3.(数字问题)有5张卡片,他们的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张排放在一起组成三位数,可组成多少不同的三位数?
【思维生长点】解法1(间接法):任取三张卡片可以组成不同的三位数有C 35·23·A33个,其中0在百位的有C24·22·A22个,故有C 35·23·A33-C24·22·A22=432(个).
解法2(直接法):由于0是特殊元素,百位是特殊位置,可采取是否取0的分类标准分为以下三类:
①取0不取1,可先从4张卡片中选一张作百位,0放在后两位,再从剩下的三张任取一张,有C14·C12·C13·22=96(个). ②取1不取0,有C24·22·A33=144(个).
③0和1都不取,有C34·23·A33=192,故共有96+144+192=432(个).
【收获与点评】本题的0和百位是受限制条件,必须考虑对0与1分类,同时还必须注意每张卡片有正反面两种可能.若取5张卡片构成多少种不同的5位数,就更简单了.
例4. (1)4个不同的小球,放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰有一个空盒的方法有多少种?
(2)10个相同的小球,放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,每个盒子都不空,有多少种不同的方法?
(3)20个相同的小球,放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,要求每个盒子里的球数不小于盒子的编号数,有多少种不同的方法?
(4)满足方程x1+x2+x3+x4=10的非负整数解有多少个?
【思维生长点】恰有一个空盒的实质是4个盒子必须放3个球,每个盒子不空,相当于4个球分成2,1,1三组,再将这三组球放入三个盒子中,故有C24A34=144(种);
(2)和(1)明显区别是小球是否相同,由于小球相同,不必考虑小球的组合和顺序,先将10个小球排成一排,小球间有11个空隙,只需“挡三块板”且不要挡在首末两个位置,就可将小球分成四部分,相当于小球放入四个盒子,且每个盒子都不空,有C39=84(种);
(3)和(2)的不同是球的个数,若先将每个盒子放比盒子编号小1的球数,再将剩余的球放入4个盒子,则只要每个盒子不空,盒子的总球数就不小于盒子的编号数,因此,可将(3)的问题转化为(2)的问题,有20-0-1-2-3=14,有C313种;
(4)方程化为x1+x2+x3+x4=10,问题相当于14个相同的球放入4个盒子,每个盒子不空,每个解即为非负整数,有个解.
【收获与点评】小球放入盒子的问题,一是搞清楚球是否相同:若球不同,则采取先分组,后对位;若球相同,则采取先把球排一列,再设挡,还要搞清楚每个盒子所放球数的要求。若能将此类问题推广应用到不定方程的解的个数就更理想了.
考点2:二项式定理的应用
【收获与点评】求展开式的特定项问题一定搞清一些名词的含义,常数项是字母指数为0的项,有理项是字母指数是整数的项,常数项一定是有理项,不要漏掉一些项.
例6.(求系数)若(-2x+1)10= a10x10+a9x9+…+a1x+a0,(1)求a0+a1+a2+…+a10;(2)求(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2;(3)求a1+ a2+…+a10;(4)求a0+a1+a2+…+a10.
解析:(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=1…………①
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-…+a10=310 ………………②
(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2= ①×②=310;
(3)令x=0,则a0=1,故a1+a2+…+a10=0;
(4)因为a1,a3,…,a9为负值,a0,a2,…,a10为正值,故a0+a1+a2+…+a10=(a0+a2+…+a10)-(a1+a3+…+a9),令x=-1,故所求值为310.
【收获与点评】考生面对二项式问题,首先思考是对二项式定理进行赋值处理,还是抓住通项公式切入,或利用转化为排列、组合问题进行求解,因此方向很重要.
第二单元 概率统计
【考点聚焦】
概率统计内容有:事件与概率、随机事件的运算、两个互斥事件的概率加法公式、古典概型、几何概型、取有限值的离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率、事件的独立性、n次独立重复试验与二项分布、取有限值的离散型随机变量的均值、方差、正态分布、简单随机抽样、分层抽样和系统抽样、频率分布表,直方图、折线图、茎叶图、样本数据的基本的数字特征(如平均数、标准差)、用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征、线性回归方程.
【经典解析】
考点1:古典概型、几何概型
【收获与点评】再利用古典概型时要注意:所有基本事件的等可能性,正确计算所有基本事件的个数及所求事件包含的基本事件的个数.
例2. 如图,在边长为1的正方形中,随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为___________.
【思维生长点】几何概型同古典概型一样,是概率中最具有代表性的试验概型之一,属于概率统计中的主干知识,在高考命题中占有非常重要的位置.考生需要理解并掌握几何概型的两个基本特征,即每次试验中基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性.本题刚好满足这个条件,是几何概型问题.
设阴影部分面积为S,则根据题干可知,所以所求面积为0.18.
【收获与点评】几何概型同古典概型一样,是概率中最具有代表性的试验概型之一,属于概率统计中的主干知识,在高考命题中占有非常重要的位置.考生需要理解并掌握几何概型的两个基本特征,即每次试验中基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性.本题刚好满足这个条件,是几何概型问题.
例3. 根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035-4085元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:
(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;
(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
【思维生长点】本题主要考查考生数据处理的能力,同时蕴含用样本估计总体的思想.这部分内容是概率统计部分重要的基础内容,同时也是考试考查的重点内容.
解析: (Ⅰ)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为:=6400,∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准.
(Ⅱ)从该城市5个行政区中随机抽取2个,共有C25=10种情况,抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上 收入国家标准,共有C23=3种情况.
抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率为.
【收获与点评】在统计中通常是从总体中抽取一个样本,用样本的有关情况去估计总体的相应情况.这种估计大致分两类:一类是用样本的频率分布去估计总体分布;一类是用样本数字特征去估计总体的数字特征.
考点2:统计问题、概率模型
例4. 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如下图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
【思维生长点】本题主要考查正态分布,现实生活中许多随机现象都服从或近似服从正态分布,正态分布在概率与统计中地位显赫.但是在平时,由于种种原因的综合,使得对其考查力度并不是很大.偶有涉及,基本也是曲高和寡——大学教师拍手叫好,中学教师和考生苦不堪言.所以新课标Ⅰ的这次大胆尝试,彰显新课改理念,有利于引导教师的教和考生的学.本题还考查了频率分布直方图、二项分布问题.2
【收获与点评】本题先是求出样本平均数x和样本方差s2,之后进一步利用求得样本平均数和样本方差进行估算. 第(Ⅱ)问的第(ⅰ)小问其实也就是3?滓原则的一个简单直接应用,而第(ⅱ)小问则是应用正态分布概念解决实际问题,只要理解题干,难度也不大.
【思维生长点】本题是一道以数理逻辑为背景的实际应用问题,意在考查考生对文字的理解能力,综合利用所学的数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、问题、情境进行独立的思考和探究,并解决问题的能力.本题解决方法可选择列表.
如果这组学生有2人,如表1所示;如果这组学生有3人,如表2所示;如果这组学生有4人,则能够发现不论怎样调整,总不能使得“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生” .
【收获与点评】逻辑推理问题最忌空想,应该利用好数表、图形、图表等表达形式. 本题排除法有效.
例6. 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上的概率为,在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
【收获与点评】本题考查的内容包括互斥事件、独立事件、分布列、期望等概率统计中重要的基本概念.在概率统计的复习中,应认真研究、比较各概念、各模型之间的联系与区别,在形成概念提炼模型的过程中,提高自己的辩别能力,积累获取模型的经验,那么建模解题也就容易多了.
例7. 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量?孜为取出此2球所得分数之和,求?孜分布列;
【收获与点评】本题考查了随机变量的分布列与数字特征,在抽球背景下,以两个不同的样本空间,一个正向设问求离散型随机变量的分布列;另一个逆向设问探求袋子中三种不同颜色球的比例.并且在具体命制过程中以抽象字母为代表,内化抽球模型的概率本质,且逆向设计,拓展了随机变量数字特征类题的命题形式.
例8. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(Ⅱ)求使P(X=m)取得最大值的整数m.
【思维生长点】(Ⅰ).
【收获与点评】该题是较难的一道概率题,问题设计的巧妙之处在于隐藏较小者思想,难在对组合数函数的代数运算与最值分析.
例9. 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
【思维生长点】(Ⅰ)设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.
【收获与点评】第(Ⅰ)问中,计算独立事件的概率关键是理清实际问题中事件之间的独立性,并会用数学符号准确表达;第 (Ⅱ)问中,至关重要的是要会将随机变量取值的概率转化为相应事件的概率.
例10. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
所以X的分布列为:
(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
【收获与点评】该题结合当前环境问题,应用性和时效性很强,所以在复习概率统计时,万万不可忽视对概率统计基本量(例如期望、方差等等)的现实意义的理解.
例11. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为Po.
(II)某客运公司用A、B.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于Po的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
【思维生长点】(I)Po=0.5+×0.9544=0.9772.
(II)设配备型A车x辆,B型车y辆,运营成本为z元,由已知条件得:
所以配备A型车5辆,B型车12辆可使运营成本最小.
【收获与点评】该题将概率统计与线性规划知识融合,保持了适度创新,强调的还是通性通法,淡化特殊技巧,虽然表象上具备“新”和“变”特征,但并不“怪”和“难”.
例12. 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1, 2, 3);
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分)
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;
(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数?孜的分布列及数学期望.
【收获与点评】该题将程序框图与抽样的频率分布图融合,把数据收集与处理交织在一起,随机变量的分布与程序设计融合,真实全面反映了统计工作的全过程.此题涉及算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关运算,知识点的覆盖面非常广,综合性极强,对考生思维能力的考查具有一定的广度与深度;另外,将算法、统计、概率有机结合在一起,既反映了实际工作中三者的紧密联系,又反映了数学来源于生活、考题接近生活的高考命题特点.
结束语
1.夯实基础知识,突出应用意识
比较近几年高考概率统计试题,难度总体趋于稳定,重点考查“三基”以及通性通法.所以各位考生在抓好“三基”的基础上,适当进行能力提高的训练.此外,由于概率统计问题背景灵活多变,文字叙述长,数量关系分散,且背景新颖而难以把握.所以考生细心的设定随机变量,区分不同变量的类型,找出变量间的内在联系,建立相应的数学模型,变得尤为重要.应试技巧:对有限的模型熟练掌握.
2. 建构知识网络,灵活解决问题
高考多在知识网络的交汇点处命题,但教材在内容编排上往往却是将这些知识点分散介绍的,因而在高三复习时,将这些知识点进行系统整理,从而得到整体全面的知识结构体系显得尤为重要.比如算法初步可以与函数、数列、三角、导数等知识结合,考查考生利用所学知识综合解决问题的能力,这点考生在复习时千万要注意.应试技巧:部分程序框图题可以改写成表格形式.
概率统计与日常生活紧密相关,高考概率统计试题中既有对生产实际的数学应用,又有对实际背景的数学抽象. 概率统计题以社会经济生活中的随机现象为研究对象,重在随机思想、分类整合思想、数据处理方法的测试. 近几年各地高考理科概率统计解答题的命制集中在三大考点.
概率统计试题,主要考查基本概念和基本公式.在题型包装上多以解答题的形式出现,而且概率统计问题可以通过对基础知识、题干情境的重新组合、变化.使得试题更加贴近学生实际,具有时代气息,从而更进一步考查考生的分析问题、解决问题的能力.概率统计试题,在高考中实际体现的是应用题的价值.
(作者单位:北京市第十二中学)
责任编校 徐国坚
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