单位文秘网 2021-08-30 09:00:48 点击: 次
摘 要: 基于基本方程和边界条件的弱形式,给出相应的广义变分和不同形式的有限元所采用 的弱条件,说明弱形式允许不是逐点满足,有限元法只在节点邻域平衡,在单元内不要求平 衡,解析法用无穷级数中单取一项也不满足方程,也是无穷多项在积分下满足,进而导出对 偶体系弱形式哈密尔顿方程。
关键词:弱形式;对偶;哈密尔顿方程;有限元
中图分类号:O316 文献标识码:A 文章编号:1672-1098(2009)03-0026-05
对哈密尔顿系统的辛几何算法文献[1-2]进行了系统研究,提出了基于辛几何的哈密 尔顿算法及其完整的理论框架,文献[3]在此基础上又发展了辛几何算法并取得了许多新 的重要理论成果。文献[4-8]阐明了弹性力学混合状态方程的重要性,并首次给出与之 对应 的从Hellinger-Reissner变分以及修正后导出的Hamilton正则方程,同时也指出求解混合 状 态方程组是一个有广泛应用但现在还没有很好开拓的领域,这是因为在连续介质中的Hamilt on方程还要满足复杂的边界条件,这也就是它的难点。本文基于基本方程 和边界条件 的弱形式,给出相应的广义变分和不同形式的有限元所采用的弱条件,说明弱形式允许不是 逐点满足,有限元法只在节点邻域平衡,在单元内不要求平衡,解析法用无穷级数中单取一 项也不满足方程,也是无穷多项在积分下满足,进而导出对偶体系弱形式哈密尔顿方程。
1 基本方程和边界条件的弱形式
即为传统的强形式的平衡方程和边界条件。
弱形式具有如下特点:
(1) 弱形式(10)包含强形式(11), 式(11)是式(10)的特殊情况, 弱形式扩大了解的空间。用式(11)解不出来的可以用弱形式(10)解出,例如有限元法就是弱形式解。
(2) 弱形式把逐点满足改为积分下满足,这样就可以选择可微次数较低的函数,例如有限元 中的C0连续分片函数。
不同形式的有限元采用的弱条件不同(见表1)。
(3) 弱形式(10)提供了方程和边界条件放在一起的算子形式,对求解有很大方便,选 择函数不必事先满足全部边界条件。这里需要强调的是:弱形式允许不是逐点满足,有限元 法只在节点邻域平衡,在单元内不要求平衡,解析法用无穷级数中单取一项也不满足方程, 也是无穷多项在积分下满足。
2 基本方程的广义变分
3 对偶体系弱形式哈密尔顿方程
这就是对偶体系弱形式哈密尔顿方程最一般形式。
4 结束语
基于基本方程和边界条件的弱形式,给出相应的广义变分和不同形式的有限元所采用的 弱条件,有了弱形式才可以把有限元法和有限差分法用到哈密尔顿方程上,从非奇次边界积 分可以给出力的自然边界条件和几何弱形式边界条件。从分析过程更能看到哈密尔顿方程在 弹性力学里几乎无处不在,特别是它的弱形式方程。当然,哈密尔顿方程中关于微分几何数 学性质的研究还开展的不多。
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