单位文秘网 2021-07-18 08:10:40 点击: 次
摘要: 本文介绍了概率的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概率、全概率公式、数学期望等有关知识,探讨概率知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。
关键词: 概率 古典概率 全概率公式 数学期望
随着人类社会的进步,科学技术的发展,经济全球化的日益进程,数学在生活中的应用越来越广,生活中的数学无处不在。数学的一个非常重要的分支——概率论,在众多领域内扮演着越来越重要的角色,取得了越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说:概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为”。
概率论渗透到生活的方方面面,从而为我们的日常生活带来方便,下面从三个方面来讨论概率在实际生活中的具体应用。
1.古典概率的应用
古典概率是概率里最早的一种最简单的概率模型,也是应用最广泛的概率。许多实际问题都可以将其转化为古典概率加以解决。
例1:在斯诺克台球比赛中,我国运动员丁俊晖与国外运动员奥沙利文相遇,根据实际排名和以往的战绩统计,每赛一局丁俊晖胜的概率为0.45,奥沙利文胜的概率为0.55。若比赛既可采用三局两胜制,也可以采用五局三胜制,问采用哪种赛制对丁俊晖更有利?
具体分析如下:
(1)采用三局两胜制:设A 表示丁俊晖胜前两局,A 表示前两局中二人各胜一局,第三局丁俊晖胜,A表示丁俊晖胜,则A=A ∪A ,而P(A )=0.45 =0.2025,P(A )=(0.45 ×0.55)×2=0.22275。
由于A 与A 互斥,由加法公式得
P(A)=P(A ∪A )=P(A )+P(A )=0.2025+0.22275=0.42525
(2)采用五局三胜制:设B表示丁俊晖胜,B 表示前三局丁俊晖胜,B 表示前三局中丁俊晖胜两局,奥沙利文胜一局,第四局丁俊晖胜,B 表示前四局两人各胜两局,第五局丁俊晖胜,则B=B ∪B ∪B ,而P(B )=0.45 =0.091125,
P(B )=C0.45 ×0.55×0.45=0.150356,
P(B )=C0.45 ×0.55 ×0.45=0.165392,
所以P(B)=P(B ∪B ∪B )=P(B )+P(B )+P(B )
=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069
由于P(B)<P(A),故采用三局两胜制对丁俊晖有利,但从公平性而言,因丁俊晖胜的概率为0.45,奥沙利文胜的概率为0.55,所以“五局三胜制”更公平、更合理。在实际比赛中,采用的是十九局十局胜制,更为公平、合理,结果是丁俊晖输了(斯诺克大师赛中的比赛结果),如果采用三局两胜制,丁俊晖就有可能战胜奥沙利文。
类似的利用古典概率求解的案例有许多,比如博彩、产品抽样检查等。利用古典概率求解实际问题时并不都是这么容易的,而许多古典概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,再计算有利场合的数目。
2.全概率公式在实际问题中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式,在实际中同样有广泛的应用。先引进定义:设B ,B ,…B 为样本空间Ω的一个划分,即B ,B ,…B 互不相容,且 B =Ω,P(B )>0,i=1,2,…n,则对任一事件A有P(A)= P(B )P(A/B )。
例2:假设100张奖券中有3张是中奖券,现有10人依次抽取,每人抽一张,那么第一位抽奖者是否比第二位抽奖者中奖的几率更大一些呢?
分析:设A表示第一位抽奖者是中奖者,B表示第二位抽奖者中奖,依全概率公式得P(A)=C/C=3/100,
P(B)=P(A)P(B/A)+P( )P(B/ )= × + × = ,
因此第一位抽奖者与第二位抽奖者中奖的几率一样大。事实上,所有抽奖的人中奖的几率都相等,这说明能否中奖与抽奖次序无关,因此抽奖是公平的。
类似的利用全概率公式求解的案例有许多,比如工厂有多条流水线,求故障发生概率就是利用全概率公式求解,或者已知故障发生概率,追究不同流水线应承担的责任,利用的是全概率公式的反向——贝叶斯公式。在利用全概率公式求解实际问题中,关键是对问题的合理划分,考虑所有可能导致问题发生的情况。
3.数学期望在求解最大利润问题中的应用
如何获取最大利润不但成为商界追求的目标,同时还为越来越多的人所关注。许多数学模型也从概率角度利用期望求解最大利润问题,为问题的解决提供新的思路。下面就是一道应用期望探讨利润的问题:
设某产品每周需求量Q取1,2,3,4,5为值,是等可能的。生产每件产品的成本为C =3元,每件产品的售价为C =9元;设售出的产品以每件C =1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品能使所期望的利润最大?
此问题的解决先是建立利润与销售量的函数,然后求利润的期望,即求关于销量P的函数的期望得到关于生产量H的函数,再求函数的导数,根据原函数和导函数的关系,以及极值与导数的性质得出结果。
此外,期望的思想用于某项活动中,可以减少工作量,保险、股票等风险投资都带有一定的随机性,运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资比较客观。
参考文献:
[1]李贤平.概率论基础[M].高等教育出版社,1997.
[2]赵秀恒等.概率论与数理统计[M].河北教育出版社.
[3]谢国瑞等.概率论与数理统计[M].高等教育出版社,2003.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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