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八年级(上)期中数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是(
)
A. B.
C. D.
分式有意义,x的取值范围是(
)
A. x≠2 B. x≠-2 C. x=2 D. x=-2
在下列运算中,正确的是(
)
A. a3?a4=a12 B. (ab2)3=a6b6 C. (a3)4=a7 D. a4÷a3=a
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.
如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是(
)
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
如图,AB=AC=5,DB=DC,若∠ABC为60°,则BE长为(
)
A. 5
B. 3
C. 2.5
D. 2
如图,△ABC中,点D在BC边上,将点D分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E、F,并连接AE、AF.根据图中标示的角度,可得∠EAF的度数为(
)
A. 108 B. 115 C. 122 D. 130
如图(一),在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图(二)),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是(
)
A. (a+b)2=a2+2ab+b2 B. a2-b2=(a+b)(a-b)
C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
如图,AD是△ABC的角平分线,作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F.下列结论不一定成立的是(
)
A. AF=DF B. ∠BAF=∠ACF
C. BF⊥AC D. S△ABD:S△ACD=AB:AC
已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+c2=2b(a+c-b),则此三角形是(
)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
在坐标系xOy中,已知点A(3,1)关于x轴、y轴的对称点分别为P、Q.若坐标轴上的点M恰使△MAP、△MAQ均为等腰三角形,则满足条件的点有(
)
A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个
二、填空题(本大题共9小题,共18.0分)
分式的值为0,则x的值是______.
(a-2)0=1,则a的取值范围为______.
计算32019×()2018=______.
若(x+1)(kx-2)的展开式中不含有x的一次项,则k的值是______.
如图:△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为______.
已知m+n=5,mn=2,则m3n-2m2n2+mn3的值为______.
在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠CBE=30°,若以C为圆心,CB长为半径画圆交BE延长线于F,且EF=6,则BF=______.
如图等腰△ABC中,AB=AC,M为其底角平分线的交点,将△BCM沿CM折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DM,则∠ABC的度数为______.
在等边△ABC中,M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点(不与端点重合),对于任意等边△ABC,下面四个结论中:
①存在无数个△MNP是等腰三角形;
②存在无数个△MNP是等边三角形;
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形;
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小.
所有正确结论的序号是______.
三、解答题(本大题共9小题,共52.0分)
分解因式:
(1)3ma2-3mb2
(2)4ax2-4ax+a
计算:
(1)x(1-x)+(x-2)(x+3)
(2)(a+5b)(a-5b)-(a+2b)2
先化简,再求值:(5x3+3x2-x)÷x+(x-1)2-7,其中6x2+x=1.
下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知直线l及直线l外一点P.
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
做法:如图,
①以P为圆心,以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧,交直线l于A、B两点;
②连接PA、PB;
③作∠APB的角平分线PQ.
直线PQ即为所求.
根据小康设计的尺规作图过程:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵PA=______,PQ平分∠APB,
∴PQ⊥l(______)(填推理的依据)
如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB.
求证:OC=OD.
阅读:
在一次数学活动中,“揭秘”学习小组发现:
53×57=3021
38×32=1216
84×86=7224
71×79=5609
这组计算蕴含着简算规律:十位数字相同,个位数字和为10的两个两位数相乘,结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积.
小乐同学用所学知识做了如下解释:将相同的十位数字设为a,个位数字为b,d,
则?=(10a+b)(10a+d)=100a2+10a(b+d)+bd,∵b+d=10
∴原式=100a2+100a+bd=100a(a+1)+bd.
(1)请你利用小组发现的规律计算:63×67=______;
(2)小乐同学进一步思考,个位数字相同,十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢?于是,小乐计算了35×75=2625,83×23=1909,48×68=3264,17×97=1649,但是还是没有发现规律,你能帮助小刘发现规律,并用所学知识解释吗?
如图,在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,AB=17,AD=12.
(1)求证:AD=DC;
(2)求四边形ABCD的周长.
等腰△ABC中,AB=AC,∠ACB>60°,点D为边AC上一点,满足BD=BC,点E与点B位于直线AC的同侧,△ADE是等边三角形.
(1)①请在图1中将图形补充完整;
②若点D与点E关于直线AB轴对称,∠ACB=______;
(2)如图2所示,若∠ACB=80°,用等式表示线段BA、BD、BE之间的数量关系,并说明理由.
在平面直角坐标系xOy中,我们称横纵坐标都是整数的点为整点,若坐标系内两个整点A(p,q)、B(m,n)(m≤n)满足关于x的多项式x2+px+q能够因式分解为(x+m)(x+n),则称点B是A的分解点.
例如A(3,2)、B(1,2)满足x2+3x+2=(x+1)(x+2),所以B是A的分解点.
(1)在点A1(5,6)、A2(0,3)、A3(-2,0)中,请找出不存在分解点的点:______;
(2)点P、Q在纵轴上(P在Q的上方),点R在横轴上,且点P、Q、R都存在分解点,若△PQR面积为6,请直接写出满足条件的△PQR的个数及每个三角形的顶点坐标;
(3)已知点D在第一象限内,D是C的分解点,请探究△OCD是否可能是等腰三角形?若可能请求出所有满足条件的点D的坐标;若不可能,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形定义.
2.【答案】B
【解析】解:根据题意得:x+2≠0,
解得:x≠-2.
故选:B.
根据分式有意义的条件:分母不等于0,即可求解.
本题主要考查了分式有意义的条件,正确理解条件是解题的关键.
3.【答案】D
【解析】解:A、底数不变指数相加,即a3?a4=a7,故A错误;
B、积得乘方等于每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab2)3=a3b6,故B错误;
C、底数不变指数相乘,即(a3)4=a12,故C错误;
D、底数不变指数相减,即a4÷a3=a,故D正确;
故选:D.
根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘分别进行计算即可.
此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方,解题的关键是熟练掌握各计算法则.
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图,关键是掌握角平分线的作法,以及全等三角形的判定和性质,关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上,全等三角形的判定定理SSS.过两把直尺的交点C作CE⊥AO,CF⊥BO,根据题意可得CE=CF,再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.
【解答】
解:(1)如图所示:过两把直尺的交点C作CE⊥AO,CF⊥BO,
∵两把完全相同的长方形直尺,
∴CE=CF,
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),
故选A.
5.【答案】C
【解析】解:∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,A在BC的垂直平分线上,
∴BC=AB=5,
∵DB=DC,
∴点D在BC的垂直平分线上,
∴AD垂直平分BC,
∴BE=BC=2.5.
故选:C.
先证明△ABC是等边三角形,再证明AD是BC的垂直平分线,即可得出BE=BC.
本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理;证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:连接AD,
∵D点分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E、F,
∴∠EAB=∠BAD,∠FAC=∠CAD,
∵∠B=61°,∠C=54°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-61°-54°=65°,
∴∠EAF=2∠BAC=130°,
故选:D.
连接AD,利用轴对称的性质解答即可.
此题考查轴对称的性质,关键是利用轴对称的性质解答.
7.【答案】B
【解析】解:由题意可得:(a-b)(a+b)=a2-b2.
故选:B.
左图中阴影部分的面积=a2-b2,右图中矩形面积=(a+b)(a-b),根据二者面积相等,即可解答.
此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式.
8.【答案】C
【解析】解:A、∵EF是AD的垂直平分线,
∴AF=DF,
故选项A不符合题意;
B、∵AF=DF,
∴∠DAF=∠ADF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠DAF=∠CAD+∠CAF,
∠ADF=∠BAD+∠B,
∴∠B=∠CAF,
∵∠BAF=∠BAC+∠CAF,∠ACF=∠BAC+∠B,
∴∠BAF=∠ACF,
故选项B不符合题意;
C、根据已知不能得出BF⊥AC,
故选项C符合题意;
D、∵AD是△ABC的角平分线,
∴点D到AB和AC的距离相等,
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC,
故选:C.
根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质,三角形外角的性质即可得到结论.
本题考查了线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,三角形的面积,三角形外角的性质,正确的识别图形是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:∵a2+c2=2b(a+c-b),
∴a2+c2+b2+b2-2ba-2bc=0,
∴(a-b)2+(b-c)2=0,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形,
故选:A.
将已知式子变形为a2+c2+b2+b2-2ba-2bc=0,再因式分解为(a-b)2+(b-c)2=0即可求解.
本题考查因式分解的应用;理解题意,将已知式子进行合理的变形,再运用因式分解进行求解是解题的关键.
10.【答案】B
【解析】解:如图,AQ=AM1,AQ=AM5,AQ=AM2,QA=QM4,AM3=QM3,
故坐标轴上的点M恰使△MAP、△MAQ均为等腰三角形,则满足条件的点有5个,
故选:B.
根据等腰三角形的性质即可得到结论.
此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质,解答此题的关键是利用勾股定理求出OP的长,此题难度不大.
11.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了分式的值为零的条件:当分式的分母不为零,分子为零时,分式的值为零.根据分式的值为零的条件得到x-1=0且x≠0,易得x=1.
【解答】
解:∵分式的值为0,
∴x-1=0且x≠0,
∴x=1.
故答案为1.
12.【答案】a≠2
【解析】解:(a-2)0=1,
∴a-2≠0,
a≠2,
故答案为a≠2.
根据a0=1,(a≠0),可得底数不为0,可得答案.
本题考查了零指数幂,任何非0的0次幂都等于1.
13.【答案】3
【解析】解:原式=(3×)2018×3
=3.
故答案为:3.
直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案.
此题主要考查了积的乘方运算法则,正确将原式变形是解题关键.
14.【答案】2
【解析】解:(x+1)(kx-2),
=kx2-2x+kx-2,
=kx2+(k-2)x-2,
∵不含有x的一次项,
∴k-2=0,
解得:k=2.
故答案为:2.
根据多项式乘多项式的运算法则,展开后令x的一次项的系数为0,列式求解即可.
本题考查了多项式乘多项式的运算法则,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0.
15.【答案】19cm
【解析】解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,AC=2AE=6cm,
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,
∴AB+BD+CD=13cm,
即AB+BC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故答案为19cm.
由已知条件,利用线段的垂直平分线的性质,得到AD=CD,AC=2AE,结合周长,进行线段的等量代换可得答案.
此题主要考查了线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等),进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
16.【答案】34
【解析】解:∵m+n=5,mn=2,
∴m3n-2m2n2+mn3
=mn(m2-2mn+n2)
=mn[(m+n)2-4mn]
=2×(52-4×2)
=2×(25-8)
=2×17
=34,
故答案为:34.
根据m+n=5,mn=2和因式分解的方法,可以求得所求式子的值.
本题考查因式分解的应用,解答本题的关键是明确题意,利用因式分解的方法解答.
17.【答案】9
【解析】解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠ADB=90°,
设BD=CD=x,则BC=2x,
∴CF=BC=2x,
∵∠CBE=30°,
∴BE=x,
∵EF=6,
∴BF=6+x,
过C作CH⊥BF于H,
∴BF=2BH=2FH,
∴BH=3+x,CH=BC=x,
∵BH2+CH2=BC2,
∴(3+x)2+x2=(2x)2,
解得:x=(负值舍去),
∴BF=6+x=9,
故答案为:9.
根据等腰三角形的性质得到BD=CD,∠ADB=90°,设BD=CD=x,则BC=2x,求得CF=BC=2x,根据直角三角形的性质得到BE=x,求得BF=6+x,过C作CH⊥BF于H,根据勾股定理即可得到结论.
本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,含30°直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
18.【答案】72°
【解析】解:∵M为其底角平分线的交点,
∴AM平分∠BAC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
设∠A=2x,则∠DAM=x,∠MBC=∠MCB=45°-x,
∵DA=DM,
∴∠DAM=∠DMA,
由折叠的性质可得:∠MDC=∠MBC=45°-x,
则∠ADM=180°-∠MDC=135°+x,
在△ADM中,∠DAM+∠DMA+∠ADM=180°,即x+x+135°+x=180°,
解得:x=18°,
则∠A=2x=36°.
∴∠ABC=72°,
故答案为:72°.
根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,设∠A=2x,则∠DAM=x,∠MBC=∠MCB=45°-x,根据折叠的性质得到∠MDC=∠MBC=45°-x,根据三角形的内角和即可得到结论.
本题考查了翻折变换的知识,解答本题的关键熟练掌握三角形的内角和定理,难度一般.
19.【答案】①②③
【解析】解:如图1中,满足AM=BN=PC,可证△PMN是等边三角形,这样的三角形有无数个.
如图2中,当NM=NP,∠MNP=90°时,△MNP是等腰直角三角形,这样的三角形有无数个.
故①②③正确,△PNM的面积不存在最小值.
故答案为①②③.
利用图象法,画出图形判定即可解决问题.
本题考查等腰三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
20.【答案】解:(1)原式=3m(a2-b2)=3m(a+b)(a-b);
(2)原式=a(4x2-4x+1)=a(2x-1)2.
【解析】(1)原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
21.【答案】解:(1)原式=x-x2+x2+3x-2x-6
=2x-6;
(2)原式=a2-25b2-(a2+4b2+4ab)
=a2-25b2-a2-4b2-4ab
=-29b2-4ab.
【解析】(1)直接利用整式的乘法运算法则化简,进而合并同类项即可;
(2)直接利用乘法公式化简,进而合并得出答案.
此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
22.【答案】解:原式=5x2+3x-1+x2-2x+1-7
=6x2+x-7,
当6x2+x=1时,
原式=1-7=-6.
【解析】直接利用整式的混合运算法则化简,进而把已知代入计算得出答案.
此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
23.【答案】PB? 等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合
【解析】解:(1)如图所示,直线PQ即为所求.
(2)证明:∵PA=PB,PQ平分∠APB,
∴PQ⊥l(等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合).
故答案为:PB,等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合.
(1)根据角平分线的尺规作图可得;
(2)利用等腰三角形的性质求解可得.
本题主要考查作图-复杂作图,解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质.
24.【答案】证明:∵AO=BO,
∴∠A=∠B,
∵DC∥AB,
∴∠D=∠B,∠C=∠A,
∴∠C=∠D,
∴CO=DO.
【解析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B,再由DC∥AB,可得∠D=∠B,∠C=∠A,进而得到∠C=∠D,根据等角对等边可得CO=DO.
此题主要考查了等腰三角形的性质,关键是掌握等边对等角,等角对等边.
25.【答案】4221
【解析】解:(1)由规律得,63×67=100×6×(6+1)+3×7=4200+21=4221,
故答案为:4221;
(2)规律:个位数字相同,十位数字和为10的两个两位数相乘,结果末两位的是个位数字的平方(或乘积),前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和.
理由:设将相同的个位数字设为m,十位数字分别为p,q,则p+q=10,
∴?=(10p+m)(10q+m)
=100pq+10pm+10qm+m2
=100pq+10m(p+q)+m2
=100pq+100m+m2
=100(pq+m)+m2,
即:个位数字相同,十位数字和为10的两个两位数相乘,结果末两位的是个位数字的平方(或乘积),前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和.
(1)直接根据规律计算即可得出结论;
(2)设将相同的个位数字设为m,十位数字分别为p,q,则p+q=10,进而得出?=100(pq+m)+m2,即可得出结论.
此题主要考查了数字问题,多项式乘以多项式,找出规律是解本题的关键.
26.【答案】证明:(1)在BC上取一点E,使BE=AB,连结DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(SAS);
∴DE=AD=12,∠BED=∠A,AB=BE=17,
∵∠A=120°,
∴∠DEC=60°.
∵∠C=60°,
∴∠DEC=∠C.
∴DE=DC,
∴AD=DC.
(2)∵∠C=60°,DE=DC,
∴△DEC为等边三角形
∴EC=CD=AD.
∵AD=12,
∴EC=CD=12,
∴四边形ABCD的周长=17+17+12+12+12=70.
【解析】(1)在BC上取一点E,使BE=AB,连结DE,证得△ABD≌△EBD,进一步得出∠BED=∠A,利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题;
(2)首先判定△DEC为等边三角形,求得BC,进一步结合(1)的结论解决问题.
此题考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形和等边三角形的判定与性质,结合图形,灵活解答.
27.【答案】75°
【解析】解:(1)①根据题意,补全图形如图1所示,
②当点D与点E关于直线AB轴对称时,
∴AB⊥DE,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AD=AE,
∴∠BAC=∠DAE=30°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=(180°-∠BAC)=75°,
故答案为75°;
(2)如图2,在BA上取一点F,使BF=BD,DE与AB的交点记作点H,
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=ED,∠EAD=∠AED=60°,
在△ABC中,AB=AC,∠ACB=80°,
∴∠ABC=∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=20°,
∴∠BAE=∠DAE-∠BAC=40°,
在△BCD中,BC=BD,
∴∠BDC=∠ACB=80°,
∴∠DBC=180°-∠ACB-∠BDC=20°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°,
∵BF=BD,
∴△BDF是等边三角形,
∵∠AED=∠ABD=60°,∠AHE=∠BHD,
∴∠BDE=∠BAE=40°,
∴∠BDF=60°,BD=FD=BF,
∴∠ADF=180°-∠BDC-∠BDF=40°=∠ADF,
∵DE=AD,
∴△BDE≌△FDA(SAS),
∴FA=BE,
∴BA=BF+FA=BD+BE.
(1)①根据题意直接画出图形;
②根据对称性判断出AB⊥DE,再判断出∠DAE=60°,进而求出∠BAC,即可得出结论;
(2)先判断出∠ADF=∠EDB,进而判断出△BDE≌△FDA,即可得出结论.
此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,对称性,三角形的内角和定理,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,构造出全等三角形是解本题的关键.
28.【答案】A2
【解析】解:(1)对于A1(3,2),x2+3x+2=(x+1)(x+2),故B1(1,2)是A1的分解点.
对于A3(-2,0),x2-2x=x(x-2),故B3(0,-2是A3的分解点.
点A2不存在分解点.
故答案为A2.
(2)∵P,Q在纵轴上,P,Q都存在分解点,
∴P,Q的纵坐标只能是0,-1,-4,-16,
当R1(1,0)时,∵△PQR的面积为6,
∴PQ=12,
∵P在Q的上方,
∴P1(0,-4),Q1(0,-16),
同法当R2(-1,0)时,可得P2(0,-4),Q2(0,-16),
当R3(3,0)时,可得P3(0,0),Q3(0,-4),
当R4(-3,0)时,可得P4(0,0),Q4(0,-4),
当R5(4,0)时,可得P5(0,-1),Q5(0,-4),
当R6(-4,0)时,可得P6(0,-1),Q6(0,-4),
当R7(12,0)时,可得P7(0,0),Q7(0,-1),
当R8(-12,0)时,可得P8(0,-4),Q8(0,-1),
综上所述,△PQR的个数为8.
(3)如图,设D(m,n),则m,n是正整数,
∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn且D为C的分解点,
∴C(m+n,mn).
当m=1时,D(1,n),C(n+1,n),此时OC>OD>CD,不可能构成等腰三角形.
当m≠1时,则m+n>m,mn>m,则点C必在直线x=m,y=n相交直线的右上角区域,
此时OC>OD,OC>CD,若△OCD为等腰三角形,只可能OD=CD,
如图,过C作CN⊥直线y=n,过点D作DM⊥x轴于M.
在Rt△ODM和Rt△CDN中,DM=DN=n,若OD=CD,则Rt△ODM≌Rt△CDN(HL),
∴DM=CN,即m=mn-n,此式子可以化为(m-1)(n-1)=1,
∵m,n为正整数,
∴m=2,n=2,即D(2,2),C(4,4),
此时O,C,D共线,△OCD不存在,
综上所述,△OCD不可能为等腰三角形.
(1)根据B是A的分解点的定义判断即可.
(2)因为P,Q在纵轴上,P,Q都存在分解点,推出P,Q的纵坐标只能是0,-1,-4,-16,当R1(1,0)时,由△PQR的面积为6,推出PQ=12,由P在Q的上方,推出P1(0,-4),Q1(0,-16),同法可求其余各个点.
(3)如图,设D(m,n),则m,n是正整数,由题意(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn且D为C的分解点,推出C(m+n,mn).分两种情形:①当m=1时,D(1,n),C(n+1,n),此时OC>OD>CD,不可能构成等腰三角形.
②当m≠1时,可以证明O,C,D共线,不存在△OCD.
本题属于三角形专题,考查了分解点的定义,三角形的面积,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
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