单位文秘网 2021-07-18 08:10:25 点击: 次
17世纪,法国贵族德•梅勒喜欢与人用骰子赌博,但赌局经常因故中断,这时不知以什么样的比例分配赌注才合理,于是德•梅勒写信向当时法国最具声望的数学家帕斯卡请教.帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马就此问题长期通信交流.从此一个新的数学分支——概率论产生了.可以说概率论从赌博游戏开始,最终服务于社会的众多领域.高中数学里学的古典概型和几何概型是概率论中的两个基本概型,本文来说一说这两种基本概型.
一、 聊聊内容
研究概率首先要了解两种现象:确定现象和随机现象.确定现象所反映的事件称为必然事件或不可能事件;随机现象所反映的事件称为随机事件.在概率论中,我们主要研究的是随机事件的概率.对于任意事件A的概率P(A),它的取值范围是0≤P(A)≤1,其中必然事件Ω的概率P(Ω)=1;不可能事件?椎的概率P(?椎)=0.
概率的研究将问题分为两个基本的模型:古典概型和几何概型.
先聊古典概型.古典概型必须具有两个特征:(1)所有的基本事件只有有限个,即可数,设为n个;(2)每个基本事件E1,E2,…,En的发生都是等可能的,即P(E1)=P(E2)=…=P(En).这类随机现象在概率论发展初期即被重视,许多概率论结果也是由它得出的,一般把这类随机现象的模型称为古典概型.
再聊几何概型.类似于古典概型,几何概型也必须满足两个条件:(1)所有的基本事件有无限个,且可被“测度”(即可用长度、面积或体积等来量化,即可与一定范围内连续的点建立一一对应);(2)每个基本事件的发生都是等可能的.举例来说,如果我们在一个面积为SM的区域M中等可能性地任意投点,则点落入区域M中某一小区域A内的可能性的大小(概率)与小区域A的面积SA成正比,而与小区域A的位置及形状无关,如图1.实际上,记“点落入小区域A”这个随机事件为A,可得P(A)=.
几何概型和古典概型的共同点是每个基本事件的发生都是等可能的;主要区别在于古典概型的基本事件只有有限个(必定可数),而几何概型的基本事件是无限个(注意还应可被“测度”,不可数).研究古典概型的关键是准确计数.研究几何概型的关键是明确“测度”所表示的含义. 一般地,当所有基本事件对应(表示)的区域分别是线段、平面图形和立体图形时,其相应的“测度”分别是长度、面积和体积.
特别注意:概率为1的事件不一定会发生,概率为0的事件不一定不发生.例如,在实数轴上随机取一点,取到1的概率为0,但还是可能发生的;相反,在实数轴上取到非1的概率为1,但也是可能不发生的.再比如,射箭,射中靶心的概率为0,但射中靶心这件事还是可能发生的……因此概率为1的事件不一定是必然事件,而概率为0的事件也不一定是不可能事件.
最后我们再聊概率论里的互斥事件.在研究随机试验时往往会遇到两个不能同时发生的事件,我们把这样的两个事件称为互斥事件.如果两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.要弄清楚这两个概念的联系与区别,必须明确以下三点:(1)对立事件必是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件;(2)对立事件一定有且只有一个发生,而互斥事件可能两个都不发生;(3)对立事件的概率之和等于1,而互斥事件的概率之和小于或等于1.
一般地,如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).运用这个公式,可以把一个复杂的事件通过分类讨论分成若干互斥的简单的事件进而求得概率.而运用对立事件概率公式(P()=1-P(A)),则可以把从正面很难处理的事件转化为它的对立事件来解决.
二、 重点熟悉两种模型
1. 古典概率模型
例1 (抛掷骰子问题)同时抛掷两枚骰子.求:
(1) 两枚骰子向上的点数之和是7的概率;
(2) 两枚骰子向上的点数之积不超过16的概率;
(3) 两枚骰子向上的点数至少有一个是5点或6点的概率.
分析 对此类问题,我们首先要弄清楚所有基本事件的总数.同时抛掷两枚骰子,共有36种不同的结果,即n=36.
而要弄清楚事件“A”包含的基本事件的数目,则可以通过画图,直观地反应出所要求解的结果.从图2可以得到“点数之和是7”包含的结果有6种,即m=6,所以P(A)===.类似地,从图3可以得到“点数之积不超过16”的概率为P(A)==.
对第(3)问,除了画图之外,我们可以从“A”的对立事件入手,此时两枚骰子向上的点数都只能在1,2,3,4中选择,所以其结果共有16种,故“点数至少有一个是5点或是6点”的概率为P(A)=1-=.
例2 (摸球问题)口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.求:
(1) 从中一次摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(2) 从中先摸出一个球,然后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(3) 从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.
分析 解决摸球问题关键是要弄清楚摸球是有序的还是无序的.
对问题(1),一次摸出两个球,我们可以把这两个球看成是无序的.此时基本事件总数为10,“颜色不同”包含的基本事件数为6(可以列出),所以事件A“从中一次摸出两个球,两球恰好颜色不同”的概率为P(A)==.
对于问题(2),先后摸出两个球,显然是有序的.此时基本事件总数为20,“颜色不同”包含的基本事件数应分两种情形计:先摸出白球,后摸出黑球,有6种;先摸出黑球,后摸出白球,也是6种.共有6+6=12种,所以事件B“从中先摸出一个球,然后再摸出一个球,两球恰好颜色不同”的概率为P(B)==.(在计算“颜色不同”包含的基本事件数时,很容易把摸球看成是无序的,造成少算6种情形,导致出错.)
问题(3)是有放回地摸球,这类问题一定是有序的,而且是可以重复的.所以第一次摸球有5种情况,第二次也有5种情况,故基本事件总数为25.而“颜色不同”包含的基本事件数与(2)相同,共有12种,所以所求的概率为P(C)=.
2. 几何概率模型
例3 (一元代数变量(或一元一维几何变量)问题)在区间[-1,2]上随机取一个实数x,则|x|≤1的概率为_______.
分析 解决几何概型问题的关键是要弄清楚基本事件的“测度”是什么.在几何概型中,测度常常用长度、面积、体积来表示.
这是一个典型的一元代数变量问题.显然,本题中基本事件对应的区域是线段,所以其对应的测度为长度.
我们利用数轴得到“D”的测度为2-(-1)=3,“d”的测度为1-(-1)=2(因为|x|≤1?圳-1≤x≤1),从而所求概率为P(A)==.
例4 (二元代数变量(或一元二维几何变量)问题)在0到1之间任取两个实数,求它们的平方和小于1的概率.
分析 在区间[0,1]内任取两个实数,属二元代数变量问题.如何找到其中基本事件对应的区域呢?由一元代数变量利用数轴求解得到启发,二元代数变量应该建立直角坐标系,找出基本事件表示的平面区域,可以用面积来表示其“测度”.
如图4,在[0,1]内任取两数x,y,则有“M”:0≤x≤1,0≤y≤1,“A”:x2+y2<1.建立平面直角坐标系并作出区域M与A,所以SM=1,SA=,从而所求的概率为P(B)==.
例5 (三元代数变量(或一元三维几何变量)问题)如图5,正方形ABCD与矩形ACFE所在的平面互相垂直,且AB=,AE=1,在多面体EF-ABCD内随机投点,求该点落在多面体EF-BCD内的概率.
分析 显然,本题是三维几何变量问题,其测度为体积,只需求出多面体EF-ABCD和多面体EF-BCD的体积即可.
因为VEF-ABCD=VD-ACEF+VB-ACEF=,VEF-BCD=VEF-ABCD-VE-ABD=1,所以所求概率P==.
三、 关键看清问题背景
例6 已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).
(1) 当x,y∈R时,求点P的坐标(x,y)满足(x-2)2
+(y-2)2≤4的概率;
(2) 当x,y∈Z时,求点P的坐标(x,y)满足(x-2)2
+(y-2)2≤4的概率.
分析 这两个问题看似相同,实际上却代表着两种不同的概型.这两种概型最大的区别就在于基本事件是有限的还是无限的.
显然第(1)问是几何概型,第(2)问是古典概型.结合图6,第(1)问的概率P(A)=,第二问的概率P(A)=.
例7 在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=.
(1) 在线段BC上任取点M,求BM<1的概率;
(2) 在∠BAC内作射线AM,交BC于点M,求BM<1的概率.
分析 这两个问题属于同一事件下不同背景(试验)的几何概型,由于背景不同,所以测度就不同,概率也不同.
第(1)问,由于点M在BC上取,所以其测度为长度.由题意得BC=1+,BD=1,所以满足条件的点在线段BD上,故其概率为P(A)==.
第(2)问,由于射线AM是在∠BAC内部作的,所以其测度为角度.由题意得∠BAC=75°,∠BAD=30°,故满足条件的射线AM在∠BAD的内部,所以其概率为P(A)==.
1. (2011年江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.
2. (2011年福建卷)如图7,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于_______.
3. (2011年福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.
4. (2011年上海卷)在随机抽取的9个同学中,至少有2个同学在同一月出生的概率是______.(假设每月天数相同,结果精确到0.001).
5. (2011年江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为________.
6. (2010年安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是________.
7. (2010年湖南卷)在区间[-1,2]上随机取一个实数x,则x∈[0,1]的概率为_______.
8. (2010年全国联赛江苏初赛卷)圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是__________.
1. . 2.. 3. . 4. 0.985. 5. . 6. .
7. . 8. (穷举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种).
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