单位文秘网 2021-07-18 08:20:20 点击: 次
问:小学阶段为什么要教学概率知识?
答:概率论是研究大量偶然现象中必然规律的一种理论。统计学吸收了概率论的理论,形成了以概率论为基础的现代统计学,称为概率统计。概率统计的重点是了解大量随机现象的总体变化趋势,从而得出随机现象的统计规律,进而可以获得社会发展或科学发现的统计性预期。概率统计在各个领域有着广泛的应用,概率现象随时可见,故有数学家夸张地称:“概率与上帝同在,无处无时不在。”随着概率统计在各个领域越来越广泛地应用,作为21世纪的公民来说,掌握一些概率和统计的知识是完全必要的。《数学课程标准》在小学阶段补充了简单的概率知识,并将统计和概率作为一个独立的内容来进行教学,这样的安排正是顺应了社会发展的需要。
问:小学阶段概率知识教学涉及哪些内容?要达到什么要求?
答:按苏教版教材的编排体系来看,小学阶段在二年级上册教学“可能性”,是让学生初步认识某些事件发生的不确定性,知道有些事情一定会发生,有些事情不一定会发生,有些事情一定不会发生,初步学会用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来解释生活中的现象。在三年级上册教学“等可能性”和“可能性大小”,使学生知道随机事件发生的可能性有大有小,也可能相等,能判断简单事件发生的可能性,并会用“经常”、“偶尔”、“差不多”等词语来描述一些事件发生的可能性大小。在四年级上册教学“游戏规则的公平性”,使学生通过进一步体验事件发生的等可能性来辨别简单游戏规则的公平性,并能按“等可能性”的原理来设计和修改简单的游戏规则。《数学课程标准》明确提出了“应注重对不确定性和可能性的直观感受”与“应注重对可能性的体验”的要求,所以在教学中应注重对不确定性和可能性的体验与感受。
问:什么叫随机现象?随机现象有什么特点?
答:现实世界的自然现象和社会现象,可以分成两类。一类是有着明确的因果关系,即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象,称为确定性现象。例如,小学数学所教学的“一定”、“不可能”就是指这种确定性现象。从严格的意义上来说,确定性现象不属于概率的范畴。另一类因果关系不明显或根本没有什么因果关系,即在一定条件下可能发生,也可能不发生,具有多种可能发生结果的现象。这类现象可能发生什么结果是事先无法确切预测的,是“随机而遇”的,因而成为随机现象。小学数学所教学的“可能性大小”和“等可能性”现象以及“游戏规则的公平性”,研究的就是这些随机现象。随机现象有两个特点:一是有偶然性的一面,在一次实验或观测中,某现象可能发生,也可能不发生,即结果呈现不确定性;二是又有其必然性的一面,在大量重复的实验或观测中,其结果会呈现某种规律,即具有统计规律性。概率论就是研究和揭示随机现象数量规律性的一门数学学科。小学数学所教学的“可能性大小”和“等可能性”现象,就是通过大量重复的实验与观测,用统计的方法来揭示某种事件发生的规律性。
问:什么是随机实验?随机实验有哪些特点?
答:所谓随机实验,就是对随机现象进行的观测或实验。小学数学教材中出现的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动,都是典型的随机实验。随机实验具有三个特点:(1)实验可以在相同的条件下大量重复进行;(2)每次实验的可能性结果不止一个,且在实验之前已知实验的所有可能性结果;(3)在每次实验之前,无法断言哪一个结果会出现,但若进行大量重复实验的话,其可能结果出现又有一定的统计规律性。例如,小学数学教材中出现的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动,就是具有这样三个特点的随机实验。例如“掷骰子”的游戏,“掷骰子”可以在相同条件下大量重复地掷,每次掷出的结果有6种可能,这6种可能在实验之前是已知的,虽然每次掷出的结果无法肯定,但若进行大量重复实验的话,每个数字都有可能出现,且出现的概率都是1/6。
问:组织“摸彩球”、“掷骰子”和“抛硬币”等游戏活动有哪些要求?
答:小学数学教材中安排的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动都是随机实验,随机实验必须符合以下要求:(1)用于随机实验的材料必须是同质、匀质的,即质地均匀,轻重大小完全一样。例如,“摸彩球”游戏中的彩球必须是除颜色不同以外,其余大小、形状、轻重等完全相同的同质、匀质球。“硬币”也可以看做是符合实验要求的材料。(2)每次实验的条件必须是相同的。如在“摸彩球”游戏中,为了保证每人摸球时的实验条件相同,所以每次摸球活动结束后,必须将球搅合。叉例如在“抛硬币”游戏中,抛硬币时每次上抛的高度应该尽可能相同,并且落在同一平面上。(3)必须保证每次实验的随机性。为了保证每次实验的随机性,可以提出一些实验要求。例如:在做“抛硬币”游戏时,抛出的硬币要有一定的高度;做“掷骰子”游戏时,掷出的骰子要滚出一定的距离;做“摸彩球”游戏时,必须将球装入看不见的布袋中或摸球人必须闭上眼睛,每次摸球活动结束后,必须将球搅合……只有符合了随机实验的要求,才能使随机实验具有科学性,使学生在活动中较好地认识随机现象,感受和理解初步的概率知识。
问:在教学“等可能性”的“摸彩球”游戏中,是不是“摸的次数越多,摸到红球和黄球的次数就越接近”?
答:在教学小学三年级数学“统计与可能性”的“等可能性”内容时,教材是这样安排的:让学生按小组从装有三个红球和三个白球的口袋中任意摸一个球,一共摸40次,并将结果记录下来,观察数据后学生回答发现了什么。对于教材这样的内容安排,有一些教师认为:只要多安排几次摸球活动,学生就能在摸球活动中得出“摸的次数越多,摸到红球和黄球的次数就越接近”的结论,进而得出“摸到红球和黄球的可能性相等”的结论。这种认识对不对呢?要回答这个问题,不妨借助与“摸彩球”游戏性质完全相同(都是随机试验)的“抛硬币”实验数据来说明问题。下面是苏教版小学数学教材中的一段知识介绍,介绍五位著名学者亲自做抛硬币试验后得到的数据。(见表一)
从表一中的数据可以知道,随着试验次数的增加,其相差数越来越大,而不是越来越接近。(分析下面表二中的数据也可以得出同样的结论)从相差数的数据来看,是不可能得到“摸的次数越多,摸到红球和黄球的次数就越接近”这个结论的。所以在教学“等可能性”的“摸彩球”游戏中,“摸的次数越多,摸到红球和黄球的次数就越接近”这个结论是错误的,因而也无法从中得出“摸到红球和黄球的可能性相等”的结论。
问:什么叫概率?概率与频率有什么不同?
答:按照概率理论,设随机事件A在n次试验中发生了nA次,则称nA是d在n次试验中发生的频数,称比值nA/A为在这n次试验中发生的频率,记作f(A)=nA/n。下面借助“抛硬币”实验所采集的数据(见表二),来说明什么叫概率。
从表中数据可以看出:(1)对于事件A,即使试验次数n相同,事件A在n次试验中发生的频率也会波动。(教材中,学生摸球活动的结果与此结论相同)(2)当试验次数n较小时(入20次),对于不同的试验轮次,频率波动的幅度往往较大,而随着试验次数n的增加,对不同的试验轮次,A发生的频率的随机波动性有逐渐减少的趋势,呈现一定的稳定性。即当试验次数n逐渐增大时(如2000次)f(A)越来越接近0.5,此时才可以说,在抛硬币时,正面朝上和反面朝上的可能性相等。(教材中,摸彩球活动的道理与此完全相同)(3)当试验次数n趋于无穷大时,频率将趋于一个稳定的值,这个稳定的值就是频率的波动中心,可将这个稳定值看做事件A发生的概率,即抛硬币时正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。(教材中摸到红球和黄球的概率也都是1/2)由上述说明可以看出,概率与频率是两个有着密切联系但不完全相同的概念。
问:如何理解“小概率事件”和“不可能事件”?
答:所谓“小概率事件”,是指发生可能性非常小的事件。例如,某人买彩票中了500万特等奖、某人因发生车祸而受伤等都是小概率事件。所谓“不可能事件”,是指完全不可能发生的,即概率为零的事件。例如,太阳从西方升起、地SiC-止转动等都是不可能事件。小概率事件不等于不可能事件。从理论上说,对于某一个小概率事件,在有限次的观察和实验中,它可能发生,也可能不发生,但在无限次的观察与实验中,它一定会发生,这就是小概率事件发生的不确定性和必然性。例如,从装有9个黄球和1个白球的盒子中摸出白球,这是一个概率比较小的事件,而连续6次从盒子中摸出白球的概率更小,因而成为“不太可能发生的事件”。然而有杂志介绍,有位教师在上课时竟然碰上了,“小概率事件”就这样“幸运”地降临到他的头上。这并不奇怪,“小概率事件”虽然是发生可能性非常小的事件,但它还是有可能发生的。
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