单位文秘网 2020-09-10 10:19:37 点击: 次
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:由题意.故选D.
考点:集合的并集运算.
2. 已知点在角的终边上,且,则的值为
A. ? B. C. ? D.
参考答案:
C
略
3. 已知x为锐角,,则a的取值范围为( )
A.[-2,2] B. C.(1,2] D.(1,2)
参考答案:
C
由,可得:
又,∴
∴的取值范围为
故选:C
4. 已知直线l,m,平面α,β且l⊥α,m?β,给出四个命题,其中真命题的个数是:( )
①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;④若l∥m,则α⊥β.
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
B
5. 某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的k的值是( )
A.4? B.5 C.6 D.7
参考答案:
A
6. 设集合则(? )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
7. 抛物线M的顶点是坐标原点O,抛物线M的焦点F在x轴正半轴上,抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点,设A是抛物线M上的一点,若?=﹣4,则点A的坐标是(
)
A.(﹣1,2)或(﹣1,﹣2) B.(1,2)或(1,﹣2) C.(1,2) D.(1,﹣2)
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先求出抛物线的焦点F(1,0),根据抛物线的方程设A(,y0),则=(,y0),=(1﹣,﹣y0),再由?=﹣4,可求得y0的值,最后可得答案.
【解答】解:x2+y2﹣6x+4y﹣3=0,可化为(x﹣3)2+(y+2)2=16,圆心坐标为(3,﹣2),半径为4,
∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点,
∴3+=4,∴p=2.
∴F(1,0),
设A(,y0)
则=(,y0),=(1﹣,﹣y0),
由?=﹣4,∴y0=±2,∴A(1,±2)
故选B.
8. 将直线沿轴向左平移1个单位,所得直线与圆相切,则实数的值为( )
A.-3或7 B.-2或8 C.0或10 D.1或11
参考答案:
9. 设,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于A、B,若为等边三角形,则该双曲线的渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 一个几何体的三视图如图所示(两个矩形,一个直角三角形),则这个几何体的体积是( )
A. 72? B.48 C. 27? D.36
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
≤3或=4
略
12. 已知实数x,y满足,则的最大值是__________.
参考答案:
由约束条件可作如图所示的可行域,两直线的交点,则当过原点的直线过点时,斜率最大,即的最大值为.
13. 向平面区域.内随机投入一点,则该点落在曲线下方的概率等于_______.
参考答案:
14. 已知抛物线的焦点为,准线为,过点斜率为的直线与抛物线交于点(在轴的上方),过作于点,连接交抛物线于点,则 .
参考答案:
2?
15. 已知直线与圆相切,若,,则的最小值为 .
参考答案:
3
16. 平面向量与的夹角为60°,,则 .
参考答案:
?
17. 设二项式(x﹣)6(a≠0)的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=44,则a=
.
参考答案:
﹣
【考点】二项式定理的应用.
【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于02,求出r的值,即可求得x2的系数为A的值;再令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项B,再根据B=44,求得a的值.
【解答】解:二项式(x﹣)6(a≠0)的展开式中的通项公式为Tr+1=?(﹣a)r?x6﹣2r,
令6﹣2r=2,求得r=2,可得展开式中x2的系数为A=15a2.
令6﹣2r=0,求得r=3,可得展开式中常数项为﹣20a3=44,求得a=﹣,
故答案为:﹣.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y元.
(1)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
参考答案:
略
19. 如图,在三棱锥中,平面平面,,,,为线段上的点,且,.
(1)求证:平面;
(2)若,求点到平面的距离.
参考答案:
(1)证明:连接,据题知
,则,
又因为,所以
因为,都在平面内,所以平面;
(2)
.
20. (2015?南昌校级模拟)已知函数f(x)=lnx+,其中a>0.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)0<a≤2时,求f(x)在x∈[1,2]上的最小值;
(3)求证:对于任意的n∈N*时,都有lnn>++…+成立.
参考答案:
【考点】: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】: 计算题;证明题;导数的综合应用.
【分析】: 求导,
(1)由题意得f′(x)≥0对x∈[1,+∞)恒成立,再转化为最值问题即可,
(2)结合(1)及导数,根据导数的正负性分2≥a≥1,,三种情况讨论函数的单调性,从而求函数的最小值;
(3)由函数可证明对n∈N*,且n>1恒成立,再写lnn=[lnn﹣ln(n﹣1)]+[ln(n﹣1)﹣ln(n﹣2)]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1],从而证明.
解:,
(1)由题意得f′(x)≥0对x∈[1,+∞)恒成立,
即对x∈[1,+∞)恒成立;
∵x∈[1,+∞)时,,
∴a≥1,
即a的取值范围为[1,+∞);
(2)当2≥a≥1时,
由(1)知,f′(x)>0对x∈(1,2)恒成立,
此时f(x)在[1,2]上为增函数,
∴[f(x)]min=f(1)=0;
当时,f′(x)<0对x∈(1.2)恒成立,
此时f(x)在[1,2]上为减函数,
∴;
当时,令f′(x)=0,得∈(1,2),
若,则f′(x)<0;
若,则f′(x)>0,
∴.
(3)由(1)知函数在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,∵,
∴,
即对n∈N*,且n>1恒成立,
∴lnn=[lnn﹣ln(n﹣1)]+[ln(n﹣1)﹣ln(n﹣2)]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1].
【点评】: 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了分类讨论的数学思想及数学证明,属于难题.
21. 设函数.(1)证明:存在唯一实数,使;
(2)定义数列 对(1)中的,求证:对任意正整数都有;
参考答案:
(1)解:有令
由所以有且只有一个实数,使; ………………5分
(2)(数学归纳法)证: .证明: ① ;
② 假设 由递减性得:? 即
又
所以时命题成立 所以对成立.………… 10分
22. 如图,平面,为正方形,,且分别是线段的中点.
(1)求和平面所成的角;
(2)求异面直线与所成的角.
参考答案:
解析:(1)连接,则即为,……………………………………………2分
在中,可求得…………………? …………………………………4分
(2)取BC的中点M,连结EM、FM,则FM//BD,
∴∠EFM(或其补角)就是异面直线EF与BD所成的角。………………………………5分
可求得,同理,又,
∴在Rt△MFE中,,…………… ………7分
故异面直线EF与BD所成角为.……………………………………………8分
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