单位文秘网 2021-07-17 14:25:39 点击: 次
思想,其基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既没有疏漏也没有重复。这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的思想相当简单,是一种很自然的计数思考方法,但却是数学中非常重要的思想。在组合论、集合论、概率论等学科都有很深的应用,本文主要关注容斥原理在概率论上的应用——加法定理。
二 应用加法定理计算概率
在概率论中,很多比较困难的概率计算要借助于加法定理。利用加法定理计算这些复杂事件的概率,关键在于将所求事件表示成若干简单事件的和,然后套用加法公式。如何运用这一个非常有用的定理,对学习概率论的学生来说非常困难,这需要对具体实际问题进行分析。我们依据教学实践总结出了利用加法定理计算概率的一般步骤,下面通过几个典型例题来进行说明。
步骤1:判定所求事件能否表示成若干简单事件的和,若不能,则考虑其对立事件。
步骤2:考虑所得的简单事件的概率是否容易计算,如果容易计算,则直接利用加法定理,否则进行步骤3。
步骤3:给出该事件的其他表示方法,进行步骤2。
例1,对某份杂志的1000名订阅者的调查得出了如下数据:考虑到他们的工作、婚姻和教育状况,有312名专业人员,470名已婚人士,525名大学毕业生,42名大学毕业的专业人员,147名已婚大学毕业生,86名已婚专业人员,25名已婚且大学毕业的专业人员。证明这些数据是不正确的。
分析:要证明这些数据是不正确的,需要找到矛盾。该问题实质是问上述计数结果是否正确,可以使用容斥原理计数集合{专业人员或已婚人士或大学毕业生}所包含的人数来判断。这里我们使用加法定理计算概率来找到矛盾。
解答:现从1000名订阅者中任取一名,设A表示“该订阅者为专业人员”,B表示“该订阅者为已婚人士”,C表示“该订阅者为大学毕业生”,则
这与概率的定义矛盾,所以上述统计数据不正确。
例2,(整除问题)在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?
分析:此问题初看起来可以直接通过计数来算概率,不过具体计算时发现不能被6整除的数和不能被8整除的数有重复,此时就可以尝试利用加法定理。那么设事件A表示“所取数不能被6整除”,事件B表示“所取数不能被8整除”,则题目所求的事件为AB。由步骤1知,其对立事件 。可以表示成 ∪ ,且 和 的概率容易求得,由步骤2,可直接利用加法定理。
解答:设A表示“所取数不能被6整除”,B表示“所取数不能被8整除”,则所求事件为AB。先求其对立事件的概率P( )=P( ∪ )。由于1~2000的整数中能被6整除的数有2000/6=333个,能被8整除的数有2000/8=250个,同时能被6和8整除的数,即能被24整
例3,(扑克牌问题)从52张扑克牌中随机抽取18张牌,问抽取的牌中有炸弹(相同数字的4张牌)的概率是多少?
分析:容易判断抽取的18张牌中最多有4个炸弹。如果设Ai表示“18张牌中恰好有i个炸弹”(i=0,1,2,3,4),则所求的概率为P( ),根据步骤1,可以发现P( )=P(A1∪A2∪A3∪A4)。由于Ai互不相容,此时加法公式有如下简单形式:P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)。利用步骤2,我们发现每个P(Ai)的计算都比较麻烦,因此由步骤3,我们需要考虑其他表示方法。
我们换一种思考方法:抽取的18张牌中可能包含炸弹1,2,…,13,且每个数字的炸弹最多1个。设A表示“抽取18张牌中包含炸弹”,即为所求事件。进一步设事件Ai表示“抽取的18张牌中包含炸弹i”(i=1,2,…,13),则A=A1∪A2∪…∪A13,我们得到了另一种表示方法。再次考虑步骤2,我们可以直接利用加法定理来计算。
解答:设A表示“抽取的18张牌中包含炸弹”,Ai表示“抽取的18张牌中包含炸弹i”(i=1,2,…,13),则P(A)=P(A1∪A2∪…∪A13)。由于18张牌中最多包含4个炸弹,所以任意5个Ai的积事件为空事件。因此,加法公式展开得到:
例4,(配对问题)设n个球1~n号随机地放入n只盒子(标号为1~n)中去,一只盒子装一只球,若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,试求至少有1个配对的概率。
分析:设A表示事件“至少有1个配对”。利用上述我们的解题步骤,首先考虑A的一种直观表示方法:Ai表示事件“恰好有i个配对”,则A=A1∪A2∪…∪An,且Ai互不相容,此时加法公式可简化为P(A)=P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An),但是求P(Ai)比较困难,根据步骤2,我们要考虑A的其他表示方法。此时我们设Ai表示事件“第i只球和第i号盒子配对”,则我们得到新的表示方法:A=A1∪A2∪…∪An。此时根据步骤2,Ai的概率的计算相对容易,可以直接应用加法定理求解。
三 结束语
关于加法定理的具体应用,本文给出了三个步骤,并且通过具体例子阐释了如何基于这三个步骤来思考问题。
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