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朝阳区2017-2018学年第一学期 试题及答案)理(期中高三数学.
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
2017.11
数学试卷(理工类)
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. ,则,已知集合}?1?{x|xA}1xx?{|log?B?IBA2A. C.B.
2}x1}x|1?x{{x| D. 0}2}x{|x?x{x|?x?2,则2. 已知实数满足条件的最大值2,y?yx,y?x26,y?x 为
A.12 B. 10 C. 8
D. 6
π只需将函数要得到函数的图象,3.?sin(2xy?)y?sinx 3的图象上所有的点
π个单位长度,再将横坐标伸先向右平移A. 3长为原来的 倍,纵坐标不变2.
π个单位长度,横坐标缩短为B. 先向右平移 61倍,纵坐标不变原来的 21倍,纵坐标不变,C. 横坐标缩短为原来的 2π个单位长度 再向右平移 6D. 横坐标变伸长原来的倍,纵坐标不变,2π个单位长度再向右平移 34. 已知非零平面向量,则“”是“存 b?b?aa?ba,在非零实数,使”的 ab=A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
条件 . 充分 必要 CD.既不充分也不必要条件
5.已知是等差数列( )的前项和,且aSnnnn,以下有四个命题: SSS465①数列中的最大项为 ②数列的公?aaS10nn差 0?d③ ④ 0?S0?S1011其中正确的序号是( )
C.
②③④B. ②③ A.
②④ D. ①③④
6. 如图,在直角梯形中,,,是DCABCDAD//CD?EABuuuruuur 的中点,,则ABEA1CD?DC2AB?A. B. C. D. ?11? ECD
BA
的五个球,某位教师从袋子里有编号为7. 2,3,4,5,6教师把所取两球编. 袋中任取两个不同的球号的和只告诉甲,其乘积只告诉乙,再让甲、 乙分别推断这两个球的编号.
.”甲说:“我无法确定 .”乙说:“我也无法确定我现在可以确“甲听完乙的回答以后,甲说: 定两个球的编号了.” 你可以推断出抽取的两球中根据以上信息,
3 B.一定没有号球 号球.一定有 A3
号球6可能有D. 号球5可能有C.
在区已知函数与函数8. xx)?g(x)?)f(x?sin(cosx)?xcos(sin,,且间都为减函数,设xx?cos)(0,(0,)xx,x,? 1131222的大小关系是,则,x?cos(sinx)sin(cosx)?xx,x,x3223312 )( C. A. B.
xx?x?x?xxx?xx312122331 D. x?x?x123
分)共第二部分(非选择题 110分,共5二、填空题:本大题共6小题,每小题 . 分.把答案填在答题卡上30的值执行如下图所示的程序框图,则输出9. i为 .
开始
i=1, S=S i=i+ 否 >14S 是? 输 结束
(第9题图)
1值10. 已知,小的最且,则?x1?x?y1x? y . 是
11?x,?(),x? 22的图象与直线若已知函数11. ?)xf(?)f(x?1?.?,xlogx 12 2的取值范围有两个不同的交点,则实数kxy?k.
为
12. 已知函数同时满足以下条件:)(xf 定义域为; ① R; 值域为② [0,1]
.
③ 0(?x)?ff(x)? . 试写出一个函数解析式 ?)f(x某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封13.
若罐头盒的S铁皮罐头盒,其表面积为定值.
的函数关,则罐头盒的体积与底面半径为Vrr ;当 系式为时,罐头盒?r的体积最大.
14. 5个三元子集表示为它的将集合,2,3,1=M.
(三元集:含三个元素的集合)的并集,并且这些三元子集的元素之和都相等,则每个三元集的元素之和为 ;请写出满足上述条件的 集合的5个三元子集 . (只写出一M 组)
680.解答应三、解答题:本大题共分小题,共. 写出文字说明,演算步骤或证明过程15. (本小题满分13分)
已知数列的前项和为( ),满足aSnnnn.
12aSnn(Ⅰ)求数列的通项公式; an(Ⅱ)若数列满足,求数列的前?bba=logbnn1nnn 2项和.
Tn
16. (本小题满分13分)
已知函数. π)?x2sin?cos(xxf()? 3(Ⅰ)求函数的最小正周期; )f(x(Ⅱ)当时,求函数的取值范围. π)xf(][0,x? 2
17. (本小题满分13分)
,中,. 在π23c?ABC△?A b74 (Ⅰ)试求的值; Ctan(Ⅱ)若,试求的面积. ABC△5a?
18. (本小题满分14分)
已知函数,.
x?2e?a(x)?x)?ax?(fRa?(Ⅰ)求函数的单调区间; )f(x(Ⅱ)设,其中为函数的导函数.)f(f)(xx)(xf)(gx?判断在定义域内是否为单调函数,并)(xg说明理由.
)
分14本小题满分19. (
12.
已知函数?ln)?x?(fx xxee(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (1)1,f)(xy?f1;(Ⅱ)求证: ?lnx? xe(Ⅲ)判断曲线是否位于轴下方,并说明x)f(xy?理由.
20. (本小题满分13分)
数列是正整数的任一排列,且nL,1,2,aL,,aa,12n同时满足以下两个条件:
①;②当时,().
2|?aa?1?|a1ni1,2,L,2?n1?i1i记这样的数列个数为. )(nf(I)写出的值; (4)(3),fff(2),(II)证明不能被4整除. (2018)f
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
2017.11
数学答案(理工类)
一、 选择题:
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
C
B
C
A
B
D
D
C
二、 填空题:
9. 5 10. 3 11.
11 U2)lnU(,?2?,0?2)[2,2ln 1 ?ln2?2?2ln2?,?1?xx?1,1?cosx或 或(答案不12. f(x)?|?|sinx(fx)? 20,x?1或x1.?唯一)
12?SS 13.; 3)(0πSrVr?r? 2?214. 24;, ,,,(答案不唯?,,1815,7143,,,561321012,,,,4911 一).
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)当时,.
1?a1?n1,
当时,S?a?S2n?1n?nn,即 a?2?a2aa=2a1n?nnn?1n所以数列是首项为1,公比为2的等比数an列.
故,
. ┈┈ 8分 1n=2aN?nn(Ⅱ)由已知得.
1?nn=1?a=log2=logb1n1n 22, 因为1)n)?b(2?n?b?(1?1nn?所以是首项为0,公差为的等差数列. b1?nn(1?n)项和故的前13分 . ┈┈ b?Tn nn2
16. (本小题满分13分)
解:因为, π)?x?cos(xf(x)?2sin 3 所以 ππ)xsin?sin?)2sinx?(cosxcosf(x 33 2x3sin?xcosxsin 13 ?sin2x?(1?cos2x) 22 . 3π?)?sin(2x? 23(Ⅰ)函数的最小正周期为 ┈┈ . π2π)x(f?T? 2.
8分
(Ⅱ)因为,所以. πππ2π],?[?2x?]x?[0, 3332 所以.
3π,1]?[sin(2x) 23 以. 所 3][0,1f(x)2 分┈┈ 13
) 17. (本小题满分13分 .
(Ⅰ)因为,,所以解:2C3sinsinC23cπ?A π37Bsin7b4)Csin(? 4.
所以 π3 )?7sinC?3Csin(2 4.
所以 π33π )C?cossinC?32(sincosC7sin 44 所以. C3sin3cosC?7sinC? 所以.
C3cosC?4sin所以. ┈┈ 7分 3?Ctan 4 ,,(Ⅱ)因为,由余弦定理π2c3?5aA b74得 222?2bccos?bA?ca .
2223322?bb25?b?(?b)?2277所以,. 23c?7b?所以积△面的ABC . ┈┈ 13分 21211 AbcS?sin?7?2?3 2222
)
分14本小题满分18. (
解:(Ⅰ)函数的定义域为)xf(.
.x)eax?2)(xf?(x)( Rxx?① 当时,令,解得:或,为?a?x)(xf0?(x)f2x?a2?减函数;
令,解得:,为增函数. ?)xf(0?xf)(2a?x?② 当时,恒成立,函数为x?2?0(x?2)fe(x))(xf2?a减函数;
③ 当时,令,解得:或,函数?a?x0)?(xf22x?a?为减函数; )f(x令,解得:,函数为增函数. ?)(xf0?fx()ax?2?综上,
当时,的单调递减区间为;单)a,),f(x)(2,(2?a调递增区间为; ,2)a(当时, 的单调递减区间为; )xf(),(2a?当时,的单调递减区间为;单)a,(,2),()f(x2?a调递增区间为. )(2,a┈ 8分
(Ⅱ)在定义域内不为单调函数,以下说)(xg明:
.
x?2e?3a2]?xf[(x)?x(?a?4)xg()记,则函数为开口向上的二22?3x?(?xh()x?a4)?a)x(h
次函数.
方程的判别式 恒成2202)44a?8?(aa?0?x)h(.
立. 从而有正有负所以,有正有负. ?)h(x)x(g在定义域内不为单调函数. 故 )xg(┈┈ 14分
19. (本小题满分14分)
解:函数的定义域为, )(0,112 (x)f 2xxexe11,(Ⅰ) ,又1?ff(1)(1)? ee曲线在处的切线方程为 )xy?f(1x?111. 11)xy( eee12 即 . 0+1?(y)x ee 4分 ┈┈11. (Ⅱ)“要证明””等价于“?lnxx?xlnx,(?0) exe. 设函数x)x?xlng(1. ,解得令x0xx)=1+ln?g( e 111 x),(0,)(eee )(gx?0.
1 )g(x?Z]e111.故的最小值为. 因此,函数)xg(lnxg(x)? eee1. 即 lnx xe ┈┈ 9分(Ⅲ)曲线位于轴下方. 理由如下: x)xy?f(x11111. 由(Ⅱ)可知,所以)(?(x)lnxf xxexexexee1?xx1,则设. ?(x?k)k(x) xxeee令得;令得.
0)k?k((x)?0x1?1x0?x?所以在上为增函数,上为减函数. 10,1,+)xk(所以当时,恒成立,当且仅当时,(1)=0?kk(x)1xx?0?.
0?k(1)1, 所以恒成立. 又因为 0?f(x)0f(1)? e故曲线位于轴下方. x)x(?yf 14分 ┈┈
) 20. (本小题满分13分. :)(Ⅰ解 42,?(3)1,?(2)fff?(4)┈┈ 3分
(Ⅱ)证明:把满足条件①②的数列称为项的n
首项最小数列.
对于个数的首项最小数列,由于,故或2?a1a?n213.
,则构成项的首项最(1)若1?1,La,?2aa?1,a?1n?n223小数列,其个数为; 1)?f(n(2)若,则必有,故构3?L,a?a3,aa3,a?23,a?4n44325成项的首项最小数列,其个数为; 3)(n?f3n?则或. 若设是这数列中第一个3()aaa?53,=4?ak?1332是出现的偶数,则前项应该是,a1?,2k1,3,Lkk21k?或,即与是相邻整数.
aa2k?2k?1k由条件②,这数列在后的各项要么都小于ak?1它,要么都大于它,因为2在之后,故aak?1k?1后的各项都小于它.
这种情况的数列只有一个,即先排递增的奇数,后排递减的偶数.
综上,有递推关系:,. 13)1)f(n?nf()?f(n?5?n由此递推关系和(I)可得,各(2018),f(2),f(3),Lf数被4除的余数依次为:
1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,…
它们构成14为周期的数列,又 ,2?144?14?2018.
所以被4除的余数与被4除的余数(2)f(2018)f相同,都是1,
故不能被4整除. (2018)f 分13 ┈┈
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