单位文秘网 2021-07-21 08:14:27 点击: 次
摘要:当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,用数学的符号和语言建立数学模型,然后用通过计算得到的结果来解释实际问题,这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。对策论研究互动情形下,人们如何进行决策、以及这种决策如何达到均衡的问题,是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。对策论方法是应用于数学建模的一个很好的方法。
关键词:数学建模 对策论 博弈论
中图分类号:O142 文献标识码: A 文章编号:1672-1578(2014)5-0049-01
1 数学建模的概念
数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何,17世纪发现的牛顿万有引力定律,都是科学发展史上数学建模的成功范例。
进入20世纪以来,随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,以及电子计算机的出现与飞速发展,数学建模越来越受到人们的重视。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言作表述,也就是建立数学模型,然后用通过计算得到的结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
2 对策论的基本概念
对策论也叫博弈论(Game Theory),它研究互动情形下人们如何进行决策、以及这种决策如何达到均衡的问题,是运筹学的一个分支。它是20世纪40年代形成并发展起来的。系统地创建这门学科的数学家,现在一般公认为是美籍匈牙利数学家、计算机之父——冯·诺依曼。博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。20世纪50年代,纳什(Nash)建立了非合作博弈的“纳什均衡”理论,标志着博弈的新时代开始,是纳什在经济博弈论领域划时代的贡献,是继冯·诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一。
最初用数学方法研究对策论是在国际象棋中开始的——如何确定取胜的着法。由于是研究双方冲突、制胜对策的问题,所以这门学科在军事方面有着十分重要的应用。近年来,数学家还对水雷和舰艇、歼击机和轰炸机之间的作战、追踪等问题进行了研究,提出了追逃双方都能自主决策的数学理论。
策略和利益相互依存。对策论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。它考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为,并研究它们的优化策略。对策论在经济学、生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。
对策论解释事件发生的原因;预测决策者将采取的行动及结果;最后,提出建议,找出解决的方法,指出应该采取什么样的策略来获得最大的效益。
对策模型的三个基本要素:(1)局中人:参与对抗的各方; (2)策略集:局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略;某局中人的所有可能策略全体称为策略集;(3)一局势对策的益损值:局中人各自使用一个对策就形成了一个局势,一个局势决定了各局中人的对策结果(量化)称为该局势对策的益损值。
3 实例
对策论方法是应用于数学建模的一个很好的方法。以下面的赛事为例:
甲乙围棋队进行团体对抗赛,每队由三名队员组成,双方都可排成三种不同的阵容,每一种阵容可以看作一种策略,双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局,规定每局胜者得1分,输者得-1分,可知三赛三胜得3分,三赛二胜得1分,三赛一胜得-1分,三赛三负得-3分。甲队的策略集为P={a1,a2,a3},乙队的策略集为Q={b1,b2,b3}。根据以往比赛的资料,有甲队的赢得矩阵为A,如下所示:
A=1 1 11 -1 -33 -1 3
请问这次比赛各队采用哪种阵容上场最好?
分析:矩阵A中每行的最小元素分别为1,-3,-1。在这些最少赢得中最好的结果是1,故甲队会采取策略a1,无论对手采取何策略,甲队至少得1分。对于乙队,{b1,b2,b3}可能带来的最少赢得,即A中每列的最大元素,分别为3,1,3。乙队会采取b2策略,确保甲队不会超过1分。
a1和b2分别称为局中人甲队、乙队的最优策略。由于双方必然选择这一种策略,所以,这种策略又称为最优纯策略。
这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=(ɑij)中等式
成立时,双方才有最优纯策略,并把(a1,b2)称为对策G在纯策略下的解,又称(a1,b2)为对策G的鞍点。许多类似的问题都可以通过寻找鞍点来确定最优策略。
参考文献:
[1]陈戈止.管理运筹学[M].西南财经大学出版社,2006.
[2]Chen Ge. Management science [M].Southwestern University of Finance and Economics press,2006.
作者简介:陈颂,女,1985年7月生,硕士研究生,讲师,籍贯:河南省永城市,研究方向:应用数学。
闫晓芳,女,1983年5月生,硕士研究生,讲师,研究方向:应用数学。
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