单位文秘网 2021-08-30 09:01:01 点击: 次
【摘 要】非线性体作为一种连续介质拥有着与线性体截然不同的性质,对它的研究不能用简单的函数来处理大量变化的数据。本文以橡胶为例,通过数学方法分析非线性体的压缩性能,以探究数学在非线性研究中的应用。
【关键词】微积分 非线性 橡胶
非线性,迄今为止,对非线性的概念、非线性的性质,并没有清晰的、完整的认识,对其哲学意义也没有充分地开掘。但我们可以借助其与线性的对比来理解并运用这一概念。而对于非线性体的研究更是处于研究的开始阶段。
线性,指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表规则和光滑的运动;从相互关联的两个角度来界定,其一,叠加原理成立;其二,物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后,相应地非线性概念就易于界定:
其—,“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”,即叠加原理不成立,这意味着φ与ψ间存在着耦合,或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二,作为等价的另—种表述,我们可以从另一个角度来理解非线性:在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中,一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的,换言之,变量间的变化率不是恒量,函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方,概括地说,就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说,这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现,也是非线性系统复杂性的根源。
对非线性概念的这两种表述实际上是等价的,其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称;反之,如果物理变量关系不对称,那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述,是因为在不同的场合,对于不同的对象,两种表述有各自的方便之处,如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的,后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。
非线性的特点是:横断各个专业,渗透各个领域,几乎可以说是:“无处不在时时存在。”而这一特点又使得数学在它的研究中发挥了重要的作用。
下面以具有广泛用途的橡胶为例,通过对橡胶的径向压缩试验来阐述高等数学在非线性研究中的应用。试验过程不在研究范围内,故此简化,其中用到的公式如下:
其中U是应变势能;N是应变能阶数;mi-剪切模量;Jel—弹性体积比;Di-可压缩性。
试验截图:
我们将试件分割为微小的单元体,每一个单元体分别表示为dx1,dx2,dx3……定义面单元。对于变形梯度张量[ F] ,由连续介质力学中的极分解定理 ,有极分解式[5 ,6 ][ F] = [ R ][ U ] = [ V ][ R ]式中, [ R ]为旋转张量,代表纯转动,它是正常正交张量,即[ R ]T[ R ] = [ I ];[ U ]和[ V ]分别为右伸长张量和左伸长张量,它们都是对称正定张量,代表纯粹的变形。在有限变形情况下,通常用右和左Cauchy2Green变形张量[C]和[ B ]来描述物体的变形。变形张量[C]和[ B ]分别用变形梯度张量[F]表示为:[C] = [F]T[F][B] = [F][F]T
二者之间的关系为: [ B ] = [C]T并且,张量[ U ]和[ V ]的特征值λi是相一致的,λi被称做主方向线元的伸长比。右Cauchy2Green应变张量[C]的主不变量可以定义:
将试验数据带入以上公式,可得出如下结论:
1.径向性能分析
根据分析,随着周向预压量的增加,径向刚度越来越大,径向性能的非线性变得更为强烈,同时,不管周向预应力如何,其径向性能都有一定范围的线性刚度,只是随预压量的增加,线性刚度范围
越来越窄。图2为周向预压为8mm,径向受载时的应变云图。
2.轴向性能分析
随周向预压缩量的增加,轴向刚度逐步降低,轴向刚度在线弹性范围内变的越来越窄,非线性愈来愈明显。同时,随着预压缩量的增加,试件性能的不可预测性越来越大,试件的稳定性也越来越差,因此为提高试件稳定性,增强减振效果,预压缩量的选择应能使轴向性能在线弹性阶段最好。图3为预压量L为8mm,轴向受载时的应变云图。从图可知,有预应力试件轴向受载时,其应力、应变分布均匀,有利于提高试件的使用寿命。
随周向预压量的增加,试件的轴向性能越来越不稳定,呈现出明显的非线性和不可预测性。
参考文献:
[1]何君毅,林祥都.工程结构非线性问题的数值解法[M].北京:国防工业出版社.
[2]匡震邦.非线性连续介质力学基础[M].西安:西安交通大学出版社.
[3]工程结构可靠性理论与应用.大连理工大学出版社.
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