单位文秘网 2021-07-18 08:19:27 点击: 次
摘 要: 全概率公式是概率论中的一个基本的公式,它的应用是初学概率论者的难点之一。本文通过应用全概率公式来处理敏感性问题的调查结果,体会全概率公式的魅力。并试图用全概率公式解决玛丽莲问题。
关键词: 全概率公式 概率 玛丽莲
1.基本概念
全概率公式的定义:设B,B,…,B为样本空间Ω的一个分割,即B,B,…,B互不相容,且B=Ω,如果P(B)>0, i=1, 2, …, n,则对任一事件A?奂Ω,有P(A)=P(B)P(A|B)。我们也称B,B,…,B为一个完备事件组。
全概率公式是概率论中的一个重要公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简。
特别地,n=2时,B,B互斥且对立,即B=B,B=,得到全概率公式的最简单形式:若0
2.问题引入
学生阅读黄色书刊或观看黄色影像会影响其身心健康发展,对这类敏感性问题的调查,涉及到个人隐私,不便直接展开正面调查,也很难获得真实信息。现设计一个调查方案,利用全概率公式,从调查数据中估计出学生阅读黄色书刊和观察黄色影像的比率p。
像这类敏感性问题的调查是社会调查的一类,如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、经营者中偷税漏税户的比率、学生中考试作弊的比率,等等。
对敏感性问题的调查方案,关键要使被调查者愿意作出真实回答又能为其保守秘密。一旦调查方案设计有误,被调查者就会拒绝配合,产生逆反心理,所得的数据将失去真实性。经过多年的研究和实践,一些心理学家设计了一种调查方案,在这个方案中,被调查者只需回答两个问题中的一个问题,而且只需回答“是”或“否”。
问题Q:你的生日是否在7月1日之前?
问题Q:你是否看过黄色书刊或影像?
这个调查方案看似简单,但为了消除被调查者的顾虑,使被调查者确信他(她)参加这次调查不会泄漏个人秘密,在操作上有以下关键点:
(1)被调查者在没有旁人的情况下,独自一人回答。
(2)被调查者从一个罐子(罐子中只有红色球和白色球)中随机抽出一只球,看过颜色后即放回。若抽到白球,则回答问题Q;若抽到红球,则回答问题Q。
被调查者无论回答问题Q或Q只需在下面答卷上认可的方框内划钩,然后把答卷放入一个密封的投票箱内。
这种调查方法,主要在于旁人无法知道被调查者回答的问题是Q还是Q,由此可以极大地消除被调查者的顾虑。
3.问题分析
现在的问题是如何分析调查的结果。
当然,我们对问题Q不感兴趣。
首先,我们设有n张答卷(n较大,譬如1 000张以上),其中有k张回答“是”。而我们又无法知道这k张回答“是”的答卷中,有多少张是回答问题Q,多少张是回答问题Q。但有两个信息我们是预先知道的:
(1)在参加人数较多的场合,任选一人,其生日在7月1日之前的概率是0.5。
(2)罐中红球的比率b已知。现根据这4个数据去求p。
此时,“回答问题Q”=“从罐中摸得白球”=B,“回答问题Q”=“从罐中摸得红球”=,记A=“答卷回答为是”。由全概率公式,得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|),所以,将P()=b, P(B)=1-b,P(A|)=p,P(A|B)=0.5代入上式右边,而式子左边用频率代替,得=0.5(1-b)+pb,由此得p=,因为我们用频率代替了概率P(A),所以从上式得到的是p的估计。
4.应用举例
例1. 甲箱中有1只黑球3只白球,乙箱有2只黑球2只白球,从两箱中各取1只球放在一起,再从中任取1只球,问该球是黑球的概率是多少?
分析:这是一个需用全概率公式解决的题目。记C=“该球是黑球”,A=“从甲箱中取出的一球为白球”,B=“从乙箱中取出的一球为白球”,则=“从甲箱中取出的一球为黑球”,=“从乙箱中取出的一球为黑球”,于是,对事件C来讲,事件组AB,A,B,构成一个完备事件组,由全概率公式,可得P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)+P()P(C|)。
其中,P(AB)=×=,P(A)=××,P(B)=×=,P()=×=,而P(C|AB)=0,P(C|A)=,P(C|B)=,P(C|)=1。代入,得P(C)=.
例2.玛丽莲之门
在1990年第9期的ParadeMaganize杂志上,提出了这样一个趣味题,也就是被称之为“玛丽莲问题”的有奖竞猜题目。题目如下:有三扇门,其中一扇门后面放有一辆汽车,另外两扇门后面是空的。主持人让你随意选定一扇门,确认后打开,门后面的东西就归你。假定你选中1号门,先不打开1号门,现在主持人打开另外两扇门,假定主持人打开3号门,发现是空的。现在主持人问你,为了有更大的机会选中汽车,你是否愿意换2号门?
分析:问题归结为,换门之后的中奖概率多大?是不是比换门前中奖的概率要大?当然,换门之前的中奖概率是,无可辩驳。但换门后的中奖概率却争议较大的,据说最早曾在美国公众中引起巨大争论。这里,用全概率公式给出一种解释。我们来看换门后的中奖概率。显然。换门后应包含换门前的信息。记A=“换门后中奖”,B=“选择第i号门”,按照题目所给条件,不妨设汽车在2号门。P(A|B)=(这里,是换门前的选择),P(A|B)=1,P(A|B)=0,由全概率公式,得P(A)=P(B)P(A|B)=1×+×1+×0=。这表明,换门,即重新选择后中奖的概率为,比不换的中奖概率要大。事实上,主持人打开一扇门后,参与者已获得了更多的信息,再做重新选择,当然比先前有利。
参考文献:
[1]茆诗松.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社,2005.
[2]赵志莲.基于SAS编程分析玛丽莲问题[J].统计与咨询,2006.6.
注:“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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