单位文秘网 2020-08-29 16:37:53 点击: 次
2018-2019学年安徽省淮北市西园中学高三数学理上学期期末试题
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则φ的值为(
)
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】利用诱导公式将y=f(x)=cos(2x+φ)转化为f(x)=sin[+(2x+φ)],再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得φ的值.
【解答】解:∵f(x)=cos(2x+φ)=sin[+(2x+φ)]=sin(2x++φ),
∴f(x﹣)=sin[2(x﹣)++φ)]=sin(2x﹣+φ),
又f(x﹣)=sin(2x+),
∴sin(2x﹣+φ)=sin(2x+),
∴φ﹣=2kπ+,
∴φ=2kπ+,又﹣π≤φ<π,
∴φ=.
故选:A.
2. 圆,圆,M、N分别是圆,上的动点,P为x轴上的动点,则的最小值为:( )
A. B. ? C. D.
参考答案:
A
3. 设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若,则展开式中的系数为( )
A.-150 ? B.150 C.-500 D.500
参考答案:
B
4. 若,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由已知利用诱导公式求得,再由同角三角函数基本关系式求得,进一步得到的值.
【详解】由,得,则.
∵,∴.
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用,是基础题.
5. 某社区有户家庭,其中高收入家庭户,中等收入家庭户,低收入家庭
户,为了调查社会消费力的指标,采用分层抽样的方法从中抽取个容量若干的样本,若高收入家庭抽取了户,则低收入家庭被抽取的户数为
A. B.? C.? D.
参考答案:
D
6. 已知为等比数列,,,则( )
A.7 B.5 C. -5? D. -7
参考答案:
D?
7. 若,则(? )
A.? B.? ? [来源:学.科.网Z.X.X.K]
C. ? ? D.
参考答案:
D
8. 已知命题p:?x0∈(﹣∞,0),2x0<3x0,命题,则下列命题中真命题是(
)
A.p∧q B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
参考答案:
D
【考点】复合命题的真假.
【分析】由指数函数的图象与性质可得:x∈(﹣∞,0),2x>3x恒成立,即可判断出真假.当x∈时,sinx<x恒成立,即可判断出真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出.
【解答】解:由指数函数的图象与性质可得:x∈(﹣∞,0),2x>3x恒成立,因此p是假命题.∴¬p是真命题.
当x∈时,sinx<x恒成立,因此q是真命题.
∴¬p∧q是真命题.
故选:D.
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
9. 点在同一个球面上,,,若球的表面积为,则四面体体积最大值为( )
A. B. C. ? D.2
参考答案:
C
10. 设集合,若,则的范围是( )
A.? B.? C.? D.?
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在上单调递增,在上单调递减,则
参考答案:
解析:因为函数在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,经检验时,在上单调递增,在上单调递减.所以.
12. 已知函数的导数为,则.
参考答案:
13. 已知等差数列{}的前n项为,若,则=________.
参考答案:
略
14. 已知,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是,则点M的轨迹C的方程是___________.若点为轨迹C的焦点,是直线
上的一点,是直线与轨迹的一个交点,且,则.
参考答案:
(注:只写写给分),;?
15. 若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 项。
参考答案:
13
16. 若双曲线与抛物线有相同焦点,则实数的值为? ▲? .
参考答案:
-4
略
17. 若命题“”是假命题,则实数的取值范围是 ▲? .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)如图所示.将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上.D在AN上.且对角线MN过C点.已知AB=3米.AD=2米
(I)要使花坛AMPN的面积大于32平方米.求AN长的取值范围;
()若(单位:米).则当AM, AN的长度分别是多少时.花坛AMPN的面最大?并求出最大面积。
参考答案:
设AN的长为x米()
由于则
故SAMPN=AN?AM=?,? …………3分
(Ⅰ)由,得,,即AN长的取值范围是.………… 6分
?(?Ⅱ? )令y=,则y′=?
因为当时,y′< 0,所以函数y=在上为单调递减函数,…… 9分
?从而当x=3时y=取得最大值,即花坛AMPN的面积最大27平方米,此时AN=3米,AM=9米 …………12分
19. 已知函数,其中 x∈(﹣3,3).
(1)判别函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数f(x)在(﹣3,3)上单调性;
(3)是否存在这样的负实数k,使f(k﹣cosθ)+f(cos2θ﹣k2)≥0对一切θ∈R恒成立,若存在,试求出k取值的集合;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义判断.(2)利用函数的单调性进行证明.(3)利用函数的单调性和三角函数的性质求恒成立问题.
【解答】解:(1)因为函数的定义域关于原点对称,由.
所以f(x)是奇函数.
(2)任取﹣3<x1<x2<3,
则=
因为9+3(x2+x1)﹣x1x2>9﹣3(x2+x1)﹣x1x2>0,
所以,
即f(x1)﹣f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),即f(x)是(﹣3,3)上的减函数;
(3)因为f(k﹣cosθ)+f(cos2θ﹣k2)≥0且f(x)是(﹣3,3)上的减函数,
所以f(cos2θ﹣k2)≥﹣f(k﹣cosθ)=f(cosθ﹣k),
即恒成立.
由k﹣cosθ≤k2﹣cos2θ得,k﹣k2≤cosθ﹣cos2θ恒成立.
设y=cos?θ﹣cos2θ=.
因为﹣1≤cosθ≤1,所以﹣2,
所以k﹣k2≤﹣2,解得k≤﹣1.
同理:由﹣3<k﹣cosθ<3,
得:﹣2<k<2.
由﹣3<cos2θ﹣k2<3,得:,
即综上所得:.
所以存在这样的k其范围为:.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及函数恒成立问题,综合性较强,运算量较大.
20. 如下图,在四棱锥P- ABCD中,PD⊥面ABCD,,,,,,,E为PA的中点.
(1)求证:面;
(2)线段AB上是否存在一点F,满足?若存在,试求出二面角的余弦值;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1)见解析;(2)存在点,满足,二面角余弦值为.
【详解】试题分析:(1)要证平面,只要在平面内找到一条直线与平行即可,取的中点,构造平行四边形即可证明;(2)以分别为轴建立空间直角坐标系,写出点的坐标,假设上存在一点使,利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件,平面的一个法向量为,再求出平面的法向量,即可求二面角的余弦值.
试题解析:(1)取的中点,连和,过点作,垂足为
∵,,∴,又
∴四边形为平行四边形,
∴,在直角三角形中,
∴,而分别为的中点,
∴且,又
∴且,四边形为平行四边形,
∴
平面,平面,∴平面.
(2)由题意可得,两两互相垂直,如图,以分别为轴建立空间直角坐标系,
则,假设上存在一点使,设坐标为,
则,由,得,
又平面的一个法向量为
设平面的法向量为
又,,
由,得,即
不妨设,有
则
又由法向量方向知,该二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
考点:1.直线与平面平行的判定与性质;2.空间向量的应用.
21. 已知数列满足,,数列的前项和为,证明:当时,
(1);
(2);
(3).
参考答案:
证明:(1)由于,则.
若,则,与矛盾,从而,
,
又,与同号,
又,则,即.
(2)由于,则.
即,,
当时,
从而
当时,,从而.
(3),
叠加:.
22. 已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最值;
(Ⅱ)若是函数的两个极值点,且,求证:.
参考答案:
(Ⅰ)当时,函数的定义域为,
所以,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
所以函数在区间上的最小值为,
又,
显然
所以函数在区间上的最小值为,最大值为 . ………………………5分
(Ⅱ)因为
所以,因为函数有两个不同的极值点,
所以有两个不同的零点. ……………………… 6分
因此,即 有两个不同的实数根,
设,则,
当时,,函数单调递增;
当,,函数单调递减;
所以函数的最大值为? ………………………7分
所以当直线与函数图像有两个不同的交点时,,且
要证,只要证? ………………………? 8分
易知函数在上单调递增,
所以只需证,而,所以
即证
……………………… 10分
记,则恒成立,
所以函数在上单调递减,所以当时
所以,因此. ……………………12分
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