单位文秘网 2020-08-26 16:31:43 点击: 次
2020年浙江省杭州市市交通职业中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA=SC=AB=BC,则直线SB与AC所成角的大小是( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
参考答案:
D
2. 阅读如图21-5所示的程序框图,输出的结果S的值为(
)
图21-5
A.0? B.? C.? D.-
参考答案:
B
3. 从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2008人中剔除8人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2008人中,每人入选的概率(
)
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等,且为 D.都相等,且为
参考答案:
C
【考点】系统抽样方法.
【专题】概率与统计.
【分析】在系统抽样中,若所给的总体个数不能被样本容量整除,则要先剔除几个个体,然后再分组,在剔除过程中,每个个体被剔除的概率相等,每个个体被抽到包括两个过程,这两个过程是相互独立的.
【解答】解:∵在系统抽样中,若所给的总体个数不能被样本容量整除,则要先剔除几个个体,然后再分组,
在剔除过程中,每个个体被剔除的概率相等,
∴每个个体被抽到包括两个过程,一是不被剔除,二是选中,这两个过程是相互独立的,
∴每人入选的概率p=×==,
故选C.
【点评】在系统抽样过程中,为将整个的编号分段(即分成几个部分),要确定分段的间隔,当在系统抽样过程中比值不是整数时,通过从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法).
4. 已知点A(1,﹣2),B(m,2),若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0,则实数m的值是(
)
A.﹣2 B.﹣7 C.3 D.1
参考答案:
C
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标,再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值.
【解答】解:∵A(1,﹣2)和B(m,2)的中点在直线x+2y﹣2=0上,
∴.
∴m=3,
故选 C.
5. 已知f(x)=,则f(f(f(-2)))的值为(?
)
A.0? B.2? C.4? D.8
参考答案:
C
略
6. 函数的零点所在的区间是( )
A.? B. C.? D.
参考答案:
B
7. 已知A、B是抛物线?=2(>0)上两点,O为坐标原点,若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是(? )
(A)=? (B)= (C)=3? (D)=
参考答案:
D
8. △ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为、、、,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=(?)
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线,由直线类比平面,由内切圆类比内切球,由平面图形的面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积,即可求解.
【详解】设四面体的内切球的球心为,则 球心到四面体的距离都是,
所以四面体的体积等于以为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积和,
则四面体的体积为,
所以,故选C.
【点睛】本题主要考查了类比推理的应用,其中对于类比推理的步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论,熟记类比推理的概念是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9. 点M的直角坐标(,﹣1)化成极坐标为(
)
A.(2,) B.(2,) C.(2,) D.(2,)
参考答案:
D
【考点】Q6:极坐标刻画点的位置.
【分析】根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得极坐标.
【解答】解:点M的直角坐标(,﹣1)
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴=ρcosθ,﹣1=ρsinθ,
解得:ρ=2,θ=,
∴极坐标为(2,)
故选D.
10.
A.0.1 B.0.3 ?C.0.6 D.0.9
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=﹣x2+2ax与g(x)= 在区间(1,2)上都单调递减,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣1,1]
【考点】函数单调性的性质.
【分析】分别利用二次函数、反比例函数的单调性,确定a的范围,即可得出结论.
【解答】解:∵f(x)=﹣x2+2ax的图象是开口朝下,以x=a为对称轴的抛物线,
f(x)=﹣x2+2ax在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1①;
∵g(x)==﹣a+在区间(1,2)上都单调递减,
∴有a+1>0,解得a>﹣1②;
综①②,得﹣1<a≤1,即实数a的取值范围是(﹣1,1].
故答案为:(﹣1,1].
12. 已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A,B两点,则线段AB的长为
.
参考答案:
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出两圆的公共弦,圆心到直线的距离,利用勾股定理,可得结论.
【解答】解:由题意,两圆的公共弦为2x﹣y﹣3=0,
圆x2+y2=9的圆心坐标为(0,0),半径为3,
圆心到直线的距离d=,∴线段AB的长为2=.
故答案为.
13. 若为奇函数,当时,且,则实数的值为
参考答案:
5
14. 已知椭圆:,过点的直线与椭圆交于、两点,若点恰为线段的中点,则直线的方程为
参考答案:
15. 如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于
.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
【分析】根据题意,结合函数的图象可得f(4)=5,以及直线l过点(0,3)和(4,5),由直线的斜率公式可得直线l的斜率k,进而由导数的几何意义可得f′(4)的值,将求得的f(4)与f′(4)的值相加即可得答案.
【解答】解:根据题意,由函数的图象可得f(4)=5,
直线l过点(0,3)和(4,5),则直线l的斜率k==
又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f′(4)=,
则有f(4)+f'(4)=5+=;
故答案为:.
16. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠A1B1C1=90°,且AB=BC=BB1,E,F分别是AB,CC1的中点,那么A1C与EF所成的角的余弦值为
.
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题.
【分析】先分别以BA、BC、BB1为ox、oy、oz轴,建立空间直角坐标系,规定棱长,再求出A1C与EF直线所在的向量坐标,然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可.
【解答】解:分别以BA、BC、BB1为ox、oy、oz轴,建立空间直角坐标系
则
=.
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,以及空间向量,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
17. 阅读如图的程序框图,若输出s的值为﹣7,则判断框内可填写
①i<6?②i<4?③i<5?④i<3?
参考答案:
①
【考点】程序框图.
【分析】执行程序框图,写出每次循环得到的i,s的值,当s=﹣7,i=7时,应该不满足条件,输出s的值为﹣7,由此可得判断框内的条件.
【解答】解:执行程序框图,有
i=1
s=2
满足条件,有s=1,i=3
满足条件,有s=﹣2,i=5
满足条件,有s=﹣7,i=7
此时,应该不满足条件,输出s的值为﹣7.
则判断框内可填写i<6?.
故答案为:①.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间,被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间,按学生的学习时间分成5组:第一组[1,3),第二组[3,5),第三组[5,7),第四组[7,9),第五组[9,11],绘制成如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求学习时间在[7,9)的学生人数;
(Ⅱ)现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中随机抽取2人交流学习心得,求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)由频率分布图求出x=0.100,由此能求出学习时间在[7,9)的学生人数.
(Ⅱ)第三组的学生人数为40人,利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:第三组的人数为4人,第四组的人数为2人,由此能求出这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率.
【解答】解:(Ⅰ)由频率分布图得:0.025×2+0.125×2+0.200×2+2x+0.050×2=1,
解得x=0.100.
∴学习时间在[7,9)的学生人数为0.010×2×100=20人.
(Ⅱ)第三组的学生人数为0.200×2×100=40人,
第三、四组共有20+40=60人,
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:
第三组的人数为6×=4人,第四组的人数为6×=2人,
则从这6人中抽2人,基本事件总数n==15,
其中2人学习时间都不在第四组的基本事件个数m==6,
∴这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率:
p=1﹣=.
19. (12分) 已知
(1)令,求证:是其定义域上的增函数;
(2)设(,,用数学归纳法证明:
参考答案:
(1)易知函数的定义域为R,
是其定义域R上的增函数。
(2)①时,,由已知条件可得
再由(1)知是增函数,=
即时,不等式成立。
②假设不等式成立,即
则时
=,
即时,不等式成立
综合①②知时,不等式成立。
20. (本题满分16分)已知直线:
(1)求证:不论实数取何值,直线总经过一定点.
(2)为使直线不经过第二象限,求实数的取值范围.
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求的方程.
参考答案:
解:(1)直线方程整理得:所以直线恒过定点
(2)当a=2时,直线垂直x轴。当时由(1)画图知:斜率得
综上:
(3)由题知则令y=0则,令x=0则.所以
所以当时三角形面积最小,:
21. 已知实数x,y满足.
(1)若z=2x+y,求z的最小值;
(2)若z=,求z的最大值.
参考答案:
考点: 简单线性规划.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: (1)作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.
(2)根据z的几何意义即可得到结论.
解答: 解:(1)作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x+y,得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,
直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,
由,解得,
即A(1,2),此时z=2+2=4.
(2)z的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率,由图象可得OA的斜率最大,
此时z=.
点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
22. (满分10分)已知:复数,?,且+,求复数z
参考答案:
解:由已知得:?= 5-i, =-3-i? …………3分
∴+=(5-i)+(-3-i)=2-2i ?…………………5分
∴z==()= ……………………10分
略
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