单位文秘网 2021-07-18 08:16:16 点击: 次
思想是:如果X与Y无线性回归关系,则与都只包含随机因素对Y的影响,因此其均方与应近似相等,如果两者差别较大,并超出能够用随机波动解释的程度,则认为回归方程具有统计学意义。因此可用方差分析方法对其进行检验。相应的计算公式为:,,;它们三个的自由度分别为:,(自变量的个数),(,为自变量的个数);。利用方差分析的基本原理,我们建立,的假设,并构造检验统计量:。由概率论可知:在成立时,统计量F服从的的分布。
2.回归系数的统计推断:
根据假设检验基本原理,原假设和备择假设分别为:,采用检验,检验统计量为:,其中为样本回归系数的标准误,,。由概率论可知:在成立时,服从自由度的t分布。
从三种统计推断的目的来看它们之间有着本质的区别。相关系数的统计推断是为了检验两个变量之间是否存在线性相关的关系;回归方程中回归系数的统计推断是为了检验单个自变量与反应变量之间是否存在线性关系;而整体回归效应的统计推断是为了检验回归方程对反映变量的解释程度。但从三个假设检验的统计量构造的过程来看,它们之间存在一定的关系;就两个变量而言它们就是等价关系,也就是说它们从不同的角度解决了同一个问题。
三、三种统计推断的等价性证明
1.线性相关系数与回归系数统计推断的等价性证明:
证:对于线性相关系数的统计推断,在成立时,检验统计量服从自由度的分布。由,所以;又,代入上式可得:⑴
对于一元回归分析中回归系数的统计推断,在成立时,检验统计量服从自由度的分布。由,,可推得,把此式代入可得:⑵
所以统计量,又因为与都满足自由度为的t分布,所以在时与对应的P也相等。从而,在同一检验水准下做出的统计推断也应相同。证毕。
2.回归系数统计推断与整体回归效应的等价性证明:
证:对于一元回归分析中整体回归效应的统计推断,在成立时,检验统计量F服从自由度第一自由度为1,第二自由度为的F分布。由,,可得:;由,可得:
所以, ⑶
显然,即:。
又因为若随机变量,则随机变量[3],即:在统计量时,所对应的P值与F所对应的P值相等。从而,同一检验水准下做出的统计推断也应相同。证毕。
综上,两变量的线性相关系数的假设检验、回归系数的假设检验以及整体回归效应的方差分析三者是等价的;也就是说在解决实际问题时,三种统计推断任选择一种便可;但鉴于线性相关系数假设检验的简便性,我们常常用相关系数的假设检验来解决回归系数的假设检验和整体回归效应的方差分析的问题。
参考文献:
[1] 贾俊平.统计学[M].中国人民大学出版社,2015.
[2] 方积乾.卫生统计学[M].人民卫生出版社,2015.
[3] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社,2008.
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