单位文秘网 2021-07-20 08:06:46 点击: 次
摘 要:主要运用线性规划方法,确定各项目的投资额,实现最优的项目组合,从而满足投资方收益最大化或风险最小化的投资目标。主要利用了管理运筹学2.0版软件,求解线性规划问题的最优解,并进行了灵敏度分析。
关键词:线性规划;投资额;灵敏度分析
中图分类号:F 272 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2013)02-0009-02
引言
投资问题主要可以划分为两个主要方面,一个是投资项目的组合,在多个项目中选择效益最大的项目组合;另一个是如何将既定的资金下分配给已选择的投资项目,即确定每个项目的投资额。有很多学者用不同的方法对第一个投资问题进行了研究,如差异系数变型模型、均衡理论模型、均值方差模型、风险价值法等等,都是用于求使期望收益最大或风险最小的最佳的投资组合,即解决如何选择项目的问题。对第二个投资问题,研究成果很少。本文主要以某个部门的项目投资为例,在已知每个项目的投资方式、投资收益和风险和投资总额的基础上,运用线性规划的方法研究如何确定每个项目的投资额,以满足投资者效益最大化或风险最小化的投资目标。
一、线性规划模型的评价
线性规划是运筹学的一个重要的分支,运用十分广泛。该方法主要解决在满足一定约束条件的基础上,决策变量如何取值,使目标函数实现最大值的问题。线性规划的决策变量是可控的连续变量,目标函数和约束方程都是线性的。
基本假设:
1.每种经营活动对目标函数的贡献是一个常数;
2.每个决策变量对目标函数的和约束方程的影响是独立于其他变量的,目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和;
3.决策变量应取连续值;
4.所有的参数都是确定的参数,不含随机因素。
线性规划的标准形式:
maxZ=
st: (i=1,2,….,n)
二、问题的提出及解决
现在,用线性规划方法来确定一公司某部门的不同投资项目投资额。
该部门现有资金200万元,今后五年内考虑以下的项目投资:
项目A:从第一年到第五年每年年初都可以投资,当年末能收回本利110%;
项目B:从第一年到第四年每年年初都可以投资,次年末收回本利125%;
项目C:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利155%,但规定最大投资额不能超过80万元;
项目D:第二年初需要投资,到第五年末收回本利155%,但规定最大投资额不能超过100万元。
据测定每次投资1万元的风险指数如表一所示:
我们要解决的问题是,如何确定这些项目每年的投资额,从而使得第五年末拥有的资金的本利金额最大;为使第五年末拥有的资金的本利在330万元的基础上总的风险系数最小,又应该怎样确定这些项目每年的投资额。
对该问题进行分析,可以发现它满足线性规划的四条基本假设。下面我们用线性规划的方法对该问题进行求解。
1.确定变量
设i为第i年初投资于项目j的金额(单位:元),根据给定条件,将变量列于表2中。
2.约束条件
因为项目A每年都可以投资,并且当年末都能收回本息,所以该部门每年都应该把金子投出去,手中不应该有剩余的呆滞资金,因此,
第一年:该部门年初有资金200万元,固有x1A+x1B=200;
第二年:因第一年给项目B的投资要到第二年末才能收回,所以该部门在第二年初拥有的资金仅为项目A在第一年投资额所收回的本息110%x1A,固有x2A+x2A+x2D=1.1x1A;
第三年:第三年初的资金额是从项目A第二年投资和项目B第一年投资所收回的本息总和1.1x1A+1.25x1B,固有 x3A+x3B+x3C=1.1x1A+1.25x1B;
第四年:同以上分析,可得x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B;
第五年:x5A=1.1x4A+1.25x3B。
另外,对项目B,C,D的投资额的限制有
xiB≤30 (i=1,2,3,4);x3C≤80;x2D≤100
3.目标函数
要求在第五年末该部门所拥有的资金额达到最大,即目标函数最大化,则可以表示为
maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
这样可以得到如下的数学模型:
maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
约束条件:x1A+x1B=200;x2A+x2B+x2D=1.1x1A;x3A+x3B+x3C=1.1x1A+
1.25x1B;x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B;x5A=1.1x4A+1.25x3B;xiB≤30(i=1,2,3,4);x3C≤80;x2D≤100;xij≥0。
用“管理运筹学”软件求得此问题的解:
x5A=33.5,x4B=30,x3C=80,x2D=100,x1A=170,x1B=30,x2A=57,x2B=30,x3A=0,x3B=20.2,x4A=7.5。
这时第五年末拥有的资金本利(即目标函数的最大值)为341.35万元,用“管理运筹学”软件所求的结果如图1。
其中,x1A=x1;x2A=x2;x3A=x3;x4A=x4;x5A=x5;x1B=x6;x2B=x7;x3B=x8;x4B=x9;x3C=x10;x2D=x11
为使第五年末拥有的资金的本利在330万的基础上总的风险系数最小,这些项目每年的投资额的确定方法同上,只是目标函数发生了变化,多了一个约束条件,第五年拥有的资金的本利要在330万元以上,同样用“管理运筹学”软件可以求得最优解和最小的风险系数。
三、灵敏度分析
利用“管理运筹学”软件的计算结果中的对偶价格、目标函数系数范围、常数项系数范围,进行进灵敏度分析。
由对偶价格栏可知,第一年初增加或减少投资1万元,将导致第五年末拥有资金的本利增加或减少1.664万元,第一年投资额为200万元;第二年初增加或减少1万元,将导致第五年末拥有的资金本利增加或减少1.513万元,第二年的投资额来自第一年投资于项目A而收回的100%的本利。同样可知,第三年初、第四年初、第五年初增加或减少投资1万元,将导致第五年末拥有的资金本利分别增加或减少1.375万元、1.210万元、1.1万元。从第六个至第九个约束方程的对偶价格中可知,如果第一年、第二年、第三年、第四年项目B的投资额的限制放松或收缩1万元指标,将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.055万元、0万元、0万元、0.040万元。从第十个和第十一个约束方程对偶栏可知,项目C和项目D的投资额的限制放松或收缩1万元指标,将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.025万元、0.037万元。
由目标函数中变量系数的变化范围可知,当x5A,x4B,x3C和x2D中的一个变量在此范围里变化时,即项目A的第一年、项目B的第四年、项目C的第三年、项目D的第二年投资在第五年末的收回本利的百分比中的一个在次范围里变化时,最优解保持不变。超出这个范围就要重新建模求解。例如在这个范围变化0≤x5≤1.12,其他的变量保持不变,那么最优解不变。当几个系数同时变化时要用百分之一百法则来判断,即各个变量的允许增加或减少的百分比之和,如果小于百分之百的话,最优解不变;如果大于百分之一百的话,需要重新建模求解。需要说明的是x1A,x1B,x2A,x2B,x3A,x3B,x4A的系数都为零,主要是把这些变量的投资回收本利的百分比对第五年的贡献都体现在约束条件里,而没体现在目标函数中,所以没法用其目标函数的系数对其进行收回本利百分比的灵敏度分析。
以常数项变化范围一栏可以得到保持对偶价格不变的约束条件中常数项的变化范围,当某一个约束条件的常数项在此范围里变化而其他约束条件的常数项不变时,对偶价格不变。例如,第一年初现有资金为190万元,从图1中可知,190万元处于保持对偶价格不变的约束条件的常数项的变化范围内,故可以从对偶计算出第五年末所拥有的资金的本利总数为 341.35-(200—190)*1.664=324.71(万元);同样,当变化超过了常数项的变化范围,需要重新建模。当几个约束条件的常数项同时变化时,则用百分之一百法则来判断。
四、结论
利用线性规划的方法,通过建模求解,我们得到了该部门投资的最优方案,即第一年给项目A投资170万元,给项目B投资30万元;第二年给项目A投资57万元,给项目B投资30万元,给项目D投资100万元;第三年,项目A不投资,给项目B投资20.2万元,给项目C投资80万元;第四年,给项目A投资7.5万元,给项目B投资30万元;第五年,给项目A投资33.5万元。 通过灵敏都分析,我们还可以得到,每一年各个项目的投资额在某个范围内变动时,并不影响最终最优的投资效果。用同样的方法可以求得最小风险系数的最优投资方案。
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