单位文秘网 2020-08-27 16:34:23 点击: 次
2020年四川省绵阳市外国语学校高二数学理期末试题
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
③老师在某班学号为1~50的50名学生中依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是系统抽样;
其中正确的个数是(
)
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
参考答案:
B
对于①,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,数据的稳定性不变,即方差恒不变,正确;
对于②, 回归直线的一次项系数为-5,则当变量x增加一个单位时,y平均减少5个单位,命题错误;
对于③,抽取的学号间隔相等,故为系统抽样,命题正确;
综上可得,正确的命题个数是2个,选B.
2. 已知数据,是杭州市100个普通职工的2016年11月份的收入(均不超过2万元),设这100个数据的中位数为,平均数为,方差为,如果再加上马云2016年11月份的收入(约100亿元),则相对于、、,这101个月收入数据 ( )
(A) 平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。
(B) 平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变。
(C) 平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变。
(D) 平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大。
参考答案:
D
已知数据,是杭州市100个普通职工的2016年11月份的收入
(均不超过2万元),而远大于,所以这101个数据中,平均数变大,
数据的集中程度也受到的影响,更加离散,则方差变大,故选D.
3. 当时,设命题p:函数在区间上单调递增,命题q:不等式对任意都成立.若“p且q”是真命题,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 数列的前n项和为(? )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】数列的求和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】根据数列的特点得到数列的通项公式,然后利用裂项法进行求和即可.
【解答】解:由数列可知数列的通项公式an==,
∴数列的前n项和S=2()=2()=,
故选:C.
【点评】本题只要考查数列和的计算,根据数列特点得到数列的通项公式是解决本题的关键,要求熟练掌握裂项法进行求和,本题容易出错的地方在于数列通项公式求错.
5. 设p:在内单调递增,,则是的( )
A.必要不充分条件 ? B.充分不必要条件
C.充分必要条件 ? D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
6. 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
A.? B.
C. ?D.
参考答案:
D
7. 下列给变量赋值的语句正确的是(? )
(A)5=a (B)a+1=a (C)a=b=c=3 (D)a=2a
参考答案:
D
8. 在命题“若抛物线的开口向下,则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是
A.都真? B.都假 C.否命题真? D.逆否命题真
参考答案:
D
9. 在中,已知,,,则的面积等于( )
A. B.
C.? D.
参考答案:
B
略
10. 气象意义上的春季进入夏季的标志为:“连续五天每天日平均温度不低于22℃”,现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位℃):
甲地:五个数据的中位数是24,众数为22;
乙地:五个数据的中位数是27,平均数为24;
丙地:五个数据中有一个数据是30,平均数是24,方差为10.
则肯定进入夏季的地区有(
)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
B
【考点】众数、中位数、平均数.
【分析】利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解.
【解答】解:气象意义上的春季进入夏季的标志为:“连续五天每天日平均温度不低于22℃”,
由此得到:
甲地肯定进入夏季,∵五个数据的中位数是24,众数为22,
∴22℃至少出现两次,若有一天低于22℃,中位数就不是24℃,故甲地进入夏季;
乙地不一定进处夏季,如13,23,27,28,29,故乙地不一定进入夏季;
丙地不一定进入夏季,10×5﹣(30﹣24)2≥(24﹣x)2,
∴(24﹣x)2≤14,x=21时,成立,故丙地不一定进入夏季.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设点在直线上,且到原点的距离与到直线的距离相等,则点坐标是
.
参考答案:
或
12. 已知,,则? 。
参考答案:
13. 从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点为F,则△PFM的面积为 .
参考答案:
10
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.
【分析】设P(x0,y0),通过|PM|=x0+,求出P的坐标,然后求解三角形的面积.
【解答】解:抛物线y2=4x中p=2,设P(x0,y0),则|PM|=x0+,即5=x0+1,得x0=4,所以y0=±4,所以=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.
14. 设,则 .
参考答案:
略
15. 直线的斜率为k,若﹣1<k<,则直线的倾斜角的范围是 .
参考答案:
16. 函数的导数是=______? ?
参考答案:
17. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数的图象恰好通过个整点,则称函数为阶整点函数.有下列函数:
①;? ②? ③ ④,
其中是一阶整点函数的是?
参考答案:
①④ ?
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x2+ax+6.
(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.
参考答案:
19. 已知函数,.
(1)若,求函数的最大值;
(2)令,讨论函数的单调区间;
(3)若,正实数,满足,证明.
参考答案:
(1)f(x)的最大值为f(1)=0.(2)见解析(3)见解析
试题分析:(1)代入求出值,利用导数求出函数的极值,进而判断最值;(2)求出,求出导函数,分别对参数分类讨论,确定导函数的正负,得出函数的单调性;(3)整理方程,观察题的特点,变形得,故只需求解右式的范围即可,利用构造函数,求导的方法求出右式的最小值.
试题解析:(1)因为,所以a=-2,此时f(x)=lnx-x2+x,
f'(x)=-2x+1,
由f'(x)=0,得x=1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故当x=1时函数有极大值,也是最大值,所以f(x)的最大值为f(1)=0.?
(2)g(x)=f(x)-ax2-ax+1,
∴g(x)=lnx-ax2-ax+x+1 ,
当a=0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当a>0时,x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;x∈(,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当a<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
(3)当a=2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.
从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),.
令t=x2x1,则由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=.
可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以φ(t)≥1,
所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,正实数x1,x2,
∴.
20. 已知椭圆C: +=1(m>0).
(Ⅰ)若m=2,求椭圆C的离心率及短轴长;
(Ⅱ)若存在过点P(﹣1,0),且与椭圆C交于A、B两点的直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题;K3:椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)m=2时,椭圆C: +=1,由此能求出椭圆C的离心率及短轴长.
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,由题意设直线l的方程为y=k(x+1),由,得(m+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4m=0,由以线段AB为直径的圆恰好过原点,得(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0;当直线l的斜率不存在时, =1.由此能求出m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵m=2,∴椭圆C: +=1,
∴c=,a=2,b=,
∴椭圆C的离心率e=,短轴长2b=2.
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,由题意设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),
由,得(m+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4m=0,
∵以线段AB为直径的圆恰好过原点,
∴⊥,∴x1x2+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,
∴(1+k2)?+k2()+k2=0,
∴k2=,
由≥0,m>0,得0<m<,
当直线l的斜率不存在时,
∵以线段AB为直径的圆恰好过坐标原点,∴A(﹣1,1),
∴=1,解得m=.
综上所述,m的取值范围是(0,].
【点评】本题考查椭圆的离心率及短轴长的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆、圆、直线方程、向量等知识点的合理运用.
21. (本小题满分8分)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是°,边长为的菱形,又,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN//平面PMB;
(2)证明:BMPA.
参考答案:
(1)证明:取PB中点Q,连结MQ、NQ,因为
M、N分别是棱AD、PC中点,所以
? QN//BC//MD,且QN=MD,于是DN//MQ.
.
(2)
又因为底面ABCD是、边长为的菱形,且M为AD中点,
所以.又所以.
22. (本题满分10分)设的内角A、B、C所对的边长分别为,且,。
(1)当时,求的值.
(2)当的面积为3时,求的值.
参考答案:
略
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