单位文秘网 2021-07-17 14:28:45 点击: 次
摘 要:在初中阶段,学生已经学习和了解了必然事件、不可能事件和随机事件等概率论的一些基本概念。所谓概率论,是研究随机性或不确定性等现象的数学,它是数学的一个分支;更精确地说,概率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的可能性。
关键词:概率论;古典概型;模型抽象
一、古典概型的基本定义
我们以掷一粒均匀的骰子为例,众所周知,骰子共有1~6,6个点,每次扔骰子时出现向上的点数只可能是1~6中,6个数字之一。这主要是因为试验结果的有限性,即只有6个,也就是向上的点数是1,……一直到向上的点数是6,并且骰子也是均匀的,因此每次出现任何一个结果的可能性都是相等的,每一种结果出现的概率是1/6。
上面这个实验具有以下两个基本特征:
(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
(2)每一个试验结果出现的可能性相同。
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(也即古典的概率模型)。
二、古典概型的模型的建立
在分析和解决古典概率问题时,我们常常会根据问题的性质、所求的事件的概率来合理地抽象出随机事件的模型,这样做常常有助于学生正确地理清思路,并为问题迎刃而解找到突破口。在这里,我们仍以掷骰子为例来进行分析。
在掷一粒骰子的试验中,我们常常研究最后面朝上的骰子的点数是多少而很少顾及其他思路,如果按照这个思想的话,我们出现点数1~6数字的可能性均是1/6;但是,值得注意的是,我们也可以以向上的点数是偶数还是偶数来进行分析,这样分析的结果仍然是只有两个结果,向上的点数是奇数或者向上的点数是偶数。并且每种结果出现的概率均是1/2。
一般来说,我们在对概率问题进行建模时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)往往是人们自己设定的,这种制订方法主要是由我们要解决的问题的本身性质来确定。但是我们有一个制定原则:即每次试验有一个并且只有一个基本事件出现。例如,掷一粒骰子时,根据问题的需要,可以认为有6个结果,(向上的点数是1~6),也可以认为只有2个结果(向上的点数是奇数或偶数),只要基本事件的个数是有限的,并且它们的发生是等可能的,就是一个古典概率模型。
三、古典概率问题的基本方法
我们在对随机事件求解时,往往可以采用两种方法——列表法和树状图法,而且这两种方法一般情况下可以通用。下面我们对下面这一例题进行分析和求解。
例1.将背面相同,正面分别标有数字1,2,3,4的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上。
(1)从中随机抽取一张卡片,求该卡片正面上的数字是偶数的概率;
(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回),将该卡片正面上的数字作为十位上的数字;再随机抽取一张,将该卡片正面上的数字作为个位上的数字,则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少?请用树状图或列表法加以说明。
对于此题,我们可以用树状图求解,即将所有的可能结果数分解为若干树枝的分枝,然后计算,解法如下:
答案:(1)p偶数(2)树状图如下:
我们也可以用列表法求解,即把所有的可能结果数都列在一个表里,如下表所示:
所以p4的倍数=通过上述两种方法的运用,不难看出,解决问题得出的结果是一样的,所不同的是表述方式,一种是通过图形表示事件发生的可能数,另一种则是通过列表,把所有可能数放置在表格中。
四、古典概型典型高考例题的解法
古典概率模型作为一种比较常见的模型在高考题中平凡出现,我们要渐渐掌握高中数学概率问题的分析方法。下面再以2010年江西省高考概率题为例进行解析。
例2.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止。列表示走出迷宫所需的时间。
求ξ的分布列;
求ξ的数学期望。
本题主要考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。我们要根据情景抽象模型,即每号门的取值是等可能的,但是概率却不是一致的。
(1)必须要走到1号门才能走出,ξ可能的取值为1,3,4,6。
结束语:概率是高中数学教学中排列组合内容的深入拓展,我们平时对概率问题的考查,往往以实际应用题出现,我们若能适当掌握必要的数学思想方法就能迅速找到解题的突破口,从而优化解题的过程。本文通过对高中数学中关于古典概型特征的分析,以及概率模型的建立,得出了一般的概率问题的解决思路和基本的分析要领。我们在学习时,要特别注意古典概型的基本特征,并学会用列举法、树状图法、列表法来解决此类随机事件的概率问题,以达到运用自如,并最终为灵活解决实际问题打下坚实的基础。
参考文献:
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(作者单位 海南省三亚市琼州学院理工学院08级数学与应用数学(一)班)
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