单位文秘网 2021-07-18 08:10:35 点击: 次
摘要:概率方法的应用已成为概率论的一个很新颖的方向。下文利用概率方法证明了其他数学领域中的一些数学命题,例如代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等等。
关键词:概率方法;数学证明;随机模型
20世纪以来,起源于机会游戏的概率论飞速发展,已经成为一门理论严谨的数学科学。其内容丰富,结论深刻,趣味性浓厚,有独特的思想和方法。并且概率论的应用很广泛,其中运用概率论的思想方法来解决其他数学领域中的问题已成为概率论的一个很新颖的方向。下文将利用概率方法证明其他数学领域中的一些数学命题。例如利用概率方法证明代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等。利用概率方法的关键,是根据不同的数学问题,巧妙建立随机模型,然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题。
一、 利用概率方法证明一些代数恒等式
例1:求证:1+++•••+=.证明:建立随机模型,假设口袋中有N个球,其中m个为白球,从中每次取出一球,不放回。令A=“迟早取到白球”,则有P(A)=1。令 A=“前i次取球,只有第i次取出的球为白球”,i=1,2,3•••N+m-1,则有P(A)=P(A)=P(A)==+++•••+.故++•••+=1.所以,1+++•••+=.
二、 利用概率方法证明一些组合恒等式
例2 :求证CCC=C,s=0,1,2,•••,n+n+n.证明:建立随机模型:设~b(n,p),i=1,2,3且,,相互独立,记1-p=q,则有P(++=s)=P(=k,=k,=s-k-k)=P(=k)P(=k)P(=s-k-k) =CpqCpqCpq=CCCpq,s=0,1,2,•••,n+n+n.另一方面,可以认为是n+n+n重贝努里试验中前n次试验中成功次数,是第n+1次到n+n次试验中成功的次数,为从第n+n+1次到n+n+n次试验中成功的次数,所以,++~b(n+n+n,p).故P(++=s)=Cpq,s=0,1,2,•••,n+n+n所以CCC=C,s=0,1,2,•••,n+n+n
三、 利用概率方法求级数的和
例3 :求证:e=. 证明:建立随机模型:设•••为独立同分布随机变量,且P(=k)=e,即~P(1). 根据泊松分布的可加性,所以,~P(n)则 P(=k)=e,k=0,1,2,•••.而E()=n,D()=n.由中心极限定理,得P≤0=P≤0=P≤n=P(=k)=e=edt=.
例4 :求证:=1.证明:建立随机模型:令E是只有两个基本事件A与的随机试验,试验E独立重复进行可列无限多次,在第n次试验中,A出现的概率为,不出现的概率为1-=.设B=“A首次出现在第n次试验中”,则=“A在所用试验中都没发生”.P(B)=••••••=,P===0.故 P(B)=P(B)==1.
四、 利用概率方法证明积分不等式
例5: 设?渍(x),p(x)在(a,b)上可积,且?渍(x)有界,p(x)>0,g(x)是(a,b)上的凹函数,证明:g()≤.证明:建立随机模型:设连续性随机变量的密度函数为f(x)=,x∈(a,b).显然f(x)满足f(x)dx=1, 且f(x)非负.又设?浊=?渍(),所以E(?渍())=?渍(x)f(x)dx=?渍(x)dx=.而E(g(?渍()))=g(?渍(x))f(x)dx=g(?渍(x))dx=.因为g(x)是(a,b)上的凹函数,由Jessen不等式得,g(E(?渍(x)))≤E(g(?渍())),故g()≤.
五、 利用概率方法证明积分的极限
例6:设G=(x,x,x,•••,x):x+x+•••+x≤,0≤x,x,x,•••,x≤1.
证明:?蓦∫dxdx•••dx=1.证明:建立随机模型:设随机变量(n=1,2…)在[0,1]上服从均匀分布,且相互独立,则有E()=,E()=,(n=1,2…).?蓦∫dxdx•••dx=P((,,…,)∈G)=P(++…+≤)=P((++…+)≤)=P((++…+)-E()≤)≥P(-E()≤).由于,,…,,•••独立同分布,所以,,•••,,•••也独立同分布.由辛钦大数定律,得P(-E()≤)=1.由于1≥?蓦 ∫dxdx…dx≥P(-E()≤)=1,所以?蓦∫dxdx•••dx=1.
六、 利用概率方法证明数学中的一些重要定理
例7: 设a≥0(i=1,2,3,…,n),则 a≤a.证明:建立随机模型:设随机变量的分布列为P(=a)=,(i=1,2,3,…,n).由Jessen不等式得 E (ln)≤ln(E).则lna≤ln,即a≤a.
参考文献:
[1]茆诗松.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]严士健.测度与概率[M].北京:北京师范大学出版社,2003.
(1.台前县第一高级中学,2.安阳师范学院数学与统计学院)
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