单位文秘网 2021-07-19 08:20:59 点击: 次
摘 要:为使学生正确地使用小概率事件解决概率论以及假设检验中的有关问题,结合教学经验,对小概率事件的定义,小概率事件的特点进行了剖析,并用实例进行说明。
关键词:小概率事件;定义;特点
中图分类号:G4
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2011)15-0198-01
1 小概率事件的定义
概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。随机事件A发生的概率一般用P(A)表示,并规定0≤P(A)≤1。对于概率值很接近于1的事件,其对立事件的概率必然很接近于0。在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。例如飞机失事,彩票中头奖,发生地震等等都是小概率事件。
2 小概率事件的特点
2.1 小概率事件通常认为不会发生,但其发生的概率大于零
例如,每天上班,无论是自己驾车、骑自行车、还是乘公交车,发生交通事故的概率都很小,一般地我们认为不会发生事故;坐飞机,登机时,我们认为一般不会发生空难。所以说小概率事件通常认为不会发生,但我们知道小概率事件指的是发生概率较小的事件,但不表示不发生,无论它的概率值多么小,总是一个正数,是有可能发生的。
2.2 小概率事件具有两重性
小概率事件在一次试验中发生了,就变成“必然事件”,小概率事件在很多次试验中都不发生时,就变成“零概率事件”,这些界定是在实际生活中进行的,因此,实际上小概率事件存在着发展和消亡的两重性。
2.3 小概率事件具有突发性
小概率事件,往往使人不知所措,无应急办法和方案,具有破坏性。2003年,中国部分地区发生了“非典”疫情,形势很严重,那时人人谈“非”色变。2011年3月日本发生8.8级强烈地震,导致核电站发生爆炸,引发海啸。另外,它也有意想不到的惊喜,购买彩票或摸奖,中头奖这都是小概率事件的惊喜;久旱逢甘露,他乡遇故知,这也是小概率事件的惊喜。
2.4 小概率事件发生的可能性很小,但不可忽视
不能因为出门发生交通事故的概率很小,就不注意交通安全;不能因为发生空难的概率很小,就不注意学习危难时如何自救。我们也不能因为小概率事件有可能发生就害怕,要以一颗正常心待之。
2.5 只要进行足够多的试验,概率再小的事件迟早也会发生
小概率事件在一次试验中几乎不会发生,并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要进行独立的试验次数无限增多,那么小概率事件将会发生。设在随机试验中,事件A出现的概率为P(P>0),不论P多么的小,只要把试验不断地独立地重复下去,那么A迟早会出现的概率为1。从理论上是可以证明的。只要试验次数足够大时,概率再小的事件迟早也会发生的。买彩票中大奖尽管很难,但总是会有人得到。
3 应用举例
例1某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000元。求:此保险公司亏本的概率。
解:按年来算,1月1日,公司收入为2500×12=30000元,假定死亡X人,则保险公司一年付出2000X元,亏本指2000X>3000即X>15,即把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重伯努利试验,于是xX~b(2500,0.002)。利用泊松定理可得
P{X>15}=2500K-16(2500×0.002)k×e-(2500×0.002)K!=0.0069
“此保险公司亏本”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本。
例2设X1,X2,……,Xn是来自总体N(μ,σ2)的样本,σ2已知,x1,x2,……,xn是对应样本值,如果检验假设:H0μ=μ0,H1μ≠μ0,由抽样分布定理知,μ0为真时,Z=
-μ0σ/n服从于N(0,1)
,考虑到样本均值是μ的一个无偏估计,的观察值的大小在一定程度上反映了μ的大小,为真时,H0 取值较小,|-μ0|反之|X-μ0|取值较大时,H0不真。检验时常以大(小)到”小概率事件”发生为较大(小),由给定的显著性水平,按概率为的事件确定小概率事件。
由标准正态分布表可令P{|Z|≥K}=α得K=zα/2,所以小概率事件为W={Z≤-zα/2}∪{Z≥zα/2}。由样本值求出Z值,即可判断W是否发生,若W发生了,那么我们就有理由怀疑原假设的正确性。对其他类型的假设检验问题都可采取类似的方法。
通过上面的分析,易知在假设检验时,我们要根据相应问题提出不同类型的假设检验,并选择适当的统计量,确定小概率事件,并由已知的信息判断小概率事件是否发生,由此借助小概率原理,对假设作出选取。重点掌握其基本思想,成为教学中必须要弄清的关键环节。
参考文献
[1]盛骤.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2008.
[2]段向阳.浅析小概率事件[J].科技创新导报,2009,(13),255-256.
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