单位文秘网 2021-08-31 09:11:42 点击: 次
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摘要: 为了消除或减弱传统绝对节点坐标法(Absolute Nodal Coordinate Formulation,ANCF)中缩减梁单元的“失真现象”,构造了一种适用于描述柔性梁绝对位形的无网格径向基点插值 (Radial Point Interpolation Method, RPIM)形函数,提出了柔性梁基于无网格RPIM的ANCF法。传统ANCF梁单元在描述纯弯曲悬臂梁的位形(一段圆弧)时,即便获得精确的单元节点坐标,通过梁单元插值得到的位形与悬臂梁的实际位形存在差异,即失真现象,悬臂梁越弯曲该差异越明显,失真越大。失真导致伪应变的产生,极大地影响数值求解的精度。而RPIM法采用一组场节点离散问题域,通过计算点支持域内的场节点构造形函数,计算点一般位于支持域的中心区域,不同计算点之间的支持域有较多重合的部分,加强了节点之间的联系,能更合理、准确地描述绝对位形,能有效减小失真。研究表明:基于RPIM的ANCF法较传统ANCF法精度更高、计算效率更快、对不等距分布节点的适应性更强,在大变形柔性多体系统动力学领域内具有推广性。
关键词: 多体系统动力学; 柔性梁; 绝对节点坐标法; 径向基点插值法; 失真
中图分类号: O313.7; O322 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523(2018)02-0245-10
DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.007
引 言
ANCF法最早由Shabana[1]于1996年提出,该方法直接从连续介质力学出发,推导得到的动力学方程具有常数质量阵、不存在离心力项和科氏力项等特点,是一种适用于求解大转动、大变形动力学问题的方法[2-5]。一般地,ANCF法基于有限单元法,许多ANCF梁、板单元是通过多项式构造得到的[6-11]。然而Sanborn[12]发现三次多项式曲线的弯曲程度会影响参数点的分布,在曲线弯曲程度较大时会出现伪应变及曲线失真。张越[13]指出纯弯曲的ANCF缩减梁单元在弯曲程度较大时存在轴向拉伸变形,即存在伪拉伸应变,并认为其原因为弯曲、拉伸应变相互耦合,提出相应的解耦方法以消除伪应变,但其形函数仍与ANCF缩减梁单元一致。而Hyldahl [14]使用ANCF矩形壳单元离散一个四分之一空心圆盘时,发现一些单元之间存在“空白”,即相邻两个单元弯曲的共用边不重合,存在明显的缝隙。空心圆盘和ANCF壳单元可以分别看成是矩形板、ANCF矩形单元在变形后的形状,ANCF矩形单元基于精确的节点坐标插值得到的绝对位形与变形后的矩形板存在误差,即失真现象,说明基于多项式的ANCF单元并不能很好地描述变形体的绝对位形。事实上,若给定一段圆心角较大的圆弧曲线(纯弯曲悬臂梁的位形),将两端端点的位置及梯度精确赋值给ANCF缩减梁单元节点坐标,通过单元插值得到的曲线与实际曲线会存在偏差,曲线越弯曲偏差越大,因此,单个ANCF一维梁单元并不能很好地描述大曲率的曲线,单元的位形不同于纯弯曲细长梁的位形,即存在失真现象,从而使得单元中产生伪应变。
为避免伪应变的产生,应使ANCF精准地描述整个绝对位形,消除或减小失真,一般的解决方法便是大量增加单元数目,避免失真现象的产生,但这样会大大增加计算的规模及耗时。因此,构造一种精确描述绝对位形的离散方法是非常有必要的。计算力学中除了有限元法(Finite Element Method, FEM)以外,仍有不少新发展起来的离散方法,如无网格法(Meshfree Method)[15]。无网格法是一种不依赖单元网格的离散方法,该方法采用一组点来离散求解区域,并应用计算点支持域内的场节点构造近似函数,可以使用较多的场节点来提高近似函数的连续性[15]。FEM法两个相邻单元的计算点之间的联系仅仅依靠单元间的共同节点,而无网格法不同计算点之间的联系则是依靠对应支持域重合部分的场节点,比单元的共同节点多得多,使得无网格法节点之间的联系更加紧密,可以更好地描述变形场。而目前应用无网格法对绝对坐标场插值的研究尚未有报道。
现有的无网格法有多种,如再生核粒子法(Reproducing Kernel Particle Method, RKPM)[16-18]、无网格局部Perov-Galerkin法(Meshfree Local Perov-Galerkin Method, MLPGM)[19]、径向基点插值法[20]等。其中Liu GR等 [15,20] 提出的RPIM具有鲁棒性、高精度、Kronecker函数特性等特点,因此多被用于固体、流体力学问题的研究中[20-25]。杜超凡等成功将无网格法RPIM应用到柔性梁一次近似刚柔耦合模型[26],并在柔性多体系统动力学问题上取得了良好的结果,说明无网格法在柔性多体系统动力学具有推广性[26-28]。
鉴于无网格RPIM法的优势,本文构造一种适用于描述柔性梁绝对位形的RPIM形函数,并基于连续介质力学和哈密顿原理建立平面细长梁系统的动力学方程,提出基于无网格RPIM的绝对节点坐标法。本文首先阐明ANCF缩减梁单元中失真现象的客观存在性,通过与本文方法对比,分析伪应变产生原因,同时检验本文方法描述曲线的性能。再通过大变形静力学、动力学算例,分析失真对传统ANCF缩减梁单元精度的影响,同时比较说明本文方法精确处理大变形问题的精度及效率。
1 柔性梁的ANCF模型
本文研究对象为平面梁系统,采用Euler-Bernouli假设,不考虑剪切变形,并认为变形时梁的横截面仍保持为平面且与中轴线垂直避免伪应变的产生,其实就是避免失真现象,但失真现象很难完全消除,仅能尽量减小失真的程度,所以需要增加離散的节点数。事实上,除了加密离散以外,还可以采用其他更合理的插值方法来减小失真。若取长度为3 m整圆,等长划分三段,即取四节点,应用传统ANCF法和本文方法进行插值,如图4所示,传统ANCF插值结果偏差较大,失真明显,本文方法所得结果基本与圆重合,说明本文方法较传统ANCF描述曲线更合理,失真的程度较传统ANCF法小得多。表3给出了此时基于两种方法求得的势能。在传统ANCF结果中,一个长度为1 m、曲率κ=2π/3单元的伪应变能为7.3985 J(如表2所示),三个单元的伪应变之和为22.1958 J,三个单元所得伪势能为一个单元伪势能的三倍,说明传统ANCF单元之间联系简单,伪势能较大,而本文方法所得结果较传统ANCF法小得多,说明本文方法能有效减小失真。
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