单位文秘网 2021-07-19 08:19:47 点击: 次
【摘要】本文通过三个例子,讨论了全概率公式在相依随机事件概率计算中的应用,并以一题二解的方式对全概率公式法和一般方法做了对比.
【关键词】全概率公式;穷举;相依随机事件
全概率公式是解决复杂事件概率的重要工具,对某些复杂问题往往有很好的效果.若一个随机试验序列,其前面试验的结果直接影响后面试验的结果,则这个试验序列下的随机事件是相依的.在概率论中有很多具有上述特点的随机试验,下面通过具体例子来讨论全概率公式在相依随机事件概率计算中的应用.
例1 甲、乙两人比赛射击,每射击一次胜者得1分,在一次射击中,甲胜的概率为p,乙胜的概率为q(p+q=1).射击进行到有1人比对方多2分为止,多2分者获胜,求各人获胜的概率.
解法一(事件穷举) 记事件A,B分别为“甲、乙获胜”,事件Ai,Bi分别为“第i局比赛甲、乙获胜”(i=1,2,…).通过对比赛规则的分析,甲获胜的情况应为“第1,3,…,2i-1局甲可胜可负,第2,4,…,2i局甲的胜负情形恰好分别与其第1,3,…,2i-1局的胜负情形相反,而第2i+1,2i+2局甲连胜”.即P(A)=P(A1A2)+[P(A1B2A3A4)+P(B1A2A3A4)]+[P(A1B2A3B4A5A6)+P(A1B2B3A4A5A6)+P(B1A2A3B4A5A6)+P(B1A2B3A4A5A6)]+…=p2+(2pq)p2+(2pq)2p2+…=
∑∞i=0p2(2pq)i=p21-2pq,同理P(B)=q21-2pq.
解法二(全概率公式) 记事件A,B分别为“甲、乙获胜”,V1=“前两局比赛,甲全胜”,V2=“前两局比赛,乙全胜”,V3=“前两局比赛,甲、乙各胜一局”.易见V1,V2,V3构成完备事件组,则由全概率公式,得P(A)=P(AV1)+P(AV2)+P(AV3)=P(V1)P(A|V1)+P(V2)P(A|V2)+P(V3)P(A|V3)=p2•1+q2•0+2pqP(A),可得P(A)=p21-2pq,同理P(B)=q21-2pq.
例2 甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直到有一人连胜两次为止,此人即为冠军.每次比赛双方取胜的概率都是12,甲、乙两人先比,求各人得冠军的概率.
解法一(事件穷举) 记事件A,B,C分别为“甲、乙、丙获得冠军”,事件Ai,Bi,Ci分别为“第i局比赛甲、乙、丙获胜”,则P(A)=[P(A1A2)+P(A1C2B3A4A5)+P(A1C2B3A4C5B6A7A8)+…]+[P(B1C2A3A4)+P(B1C2A3B4C5A6A7)+…]=122+125+128+…+124+127+…=514.因为甲、乙所处地位是对称的,所以P(B)=P(A)=514,又得P(C)=1-P(A)-P(B)=27.
解法二(全概率公式) 记事件A,B,C分别为“甲、乙、丙获得冠军”,事件Ai,Bi,Ci分别为“第i局中甲、乙、丙获胜”.对第一局比赛的结果而言,A1,B1构成完备事件组.由全概率公式,可得P(C)=P(A1C)+P(B1C)=P(A1)P(C|A1)+P(B1)P(C|B1)=12P(C|A1)+P(C|B1).通过对比赛进程的分析,可以看出从第四局开始出现了类似从第二局开始的循环,因此再一次运用全概率公式:P(C|A1)=P(C2B3A4C)+P(C2B3B4C)+P(C2C3C)+P(A2C)=P(C2B3A4)•P(C|C2B3A4)+P(C2B3B4)•0+P(C2C3)•1+P(A2)•0=123P(C|A1)+122,得P(C|A1)=27.同理P(C|B1)=27,故P(C)=27,P(A)=P(B)=514.
通过上面的例子,可以看出全概率公式用在相依随机事件概率计算中的作用,虽然运用事件穷举法也可以解决问题,但在如下的相依随机事件例子中,很难用一般方法考虑,而全概率公式的运用使之迎刃而解.
例3 甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.求第n次是甲掷的概率.
解 设Ai,Bi分别为“第i次由甲、乙掷”(i=1,2,…),显然对第n-1次掷骰子的情况来说,An-1,Bn-1构成了完备事件组.由全概率公式得P(An)=P(An-1An)+P(Bn-1An)=P(An-1)P(An|An-1)+P(Bn-1)P(An|Bn-1)=56P(An-1)+16P(Bn-1)=56P(An-1)+16[1-P(An-1)],得递推关系P(An)-12=23P(An-1)-12,所以有P(An)-12=23n-1P(A1)-12.因为甲先掷,即P(A1)=1,所以得P(An)=121+23n-1(n≥2).
【参考文献】
[1]李贤平,沈崇圣,陈子毅.概率论与数理统计[M].上海:复旦大学出版社,2003.
[2]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答[M].北京:高等教育出版社,2005.
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