单位文秘网 2021-07-18 08:10:58 点击: 次
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摘 要:全概率公式的概率计算,一直是概率教学中的一个难点和重点。为了增强学生运用全概率公式的能力,本文从一个实例出发引出全概率公式的内容和推导过程,利用图形的划分和"知因求果"型问题的描述两个方面引导学生理解公式的应用背景,提高其运用概率知识解决实际问题的能力。
关键词:全概率公式 教学方法 复杂随机事件
概率论是研究随机现象规律性的一门学科[1],它与我们现实生活中的很多问题都有密切的关系。在大学的概率教学中,复杂随机事件的概率计算对于概率论初学者而言一直是一个难点,也是教学过程中的一个重点,在这其中,全概率公式又是一个重要的基本公式,故全概率公式的教学一直是概率论教学讨论中的热点问题[2]。现阶段,很多概率统计教材中[1,4],全概率公式通常是以定理的形式直接给出,显然以实例或学生感兴趣的例子引入公式更能提高教学质量[3], 所以结合多本概率论教材的内容和自己教学过程中的经验,本文从学生学习中遇到的一个实际问题出发,引导学生理解复杂随机事件的计算思路,从较为简单的实例逐步推导出n个随机事件的全概率公式,再通过一個有趣的实例,提高同学们运用概率知识解决现实问题的能力和兴趣。
一、引例
一个歌唱预选赛有20名选手,其中优秀手有4人,较为优秀选手有8人,一般选手有7人,水平较差的选手有1人。这四级歌手能通过预选赛的概率分别是0.7,0.5,0.2,0.1。求任选一名歌手能通过预选赛的概率[4]。
分析:求解这类问题的一个基本思路是把复杂的随机事件表示成已知概率的随机事件或易于求得概率的随机事件的表达式,再展开计算其概率。通过题意,易知如果能确定选出歌手的是哪一类选手,这名歌唱选手通过预选赛的概率是已知的,所以问题分解为先确定选出这名歌手的类别,再计算他通过预选赛的概率。
解:设事件“任选一名歌手是第类别歌手”(),事件表示“任选一名歌唱选手能通过预选赛”,则
且两两互斥,运用加法公式得到
接下来进一步用设问的方式引导学生思考是否可以将问题中三个可能性的情况推广到一般个情形?通过回答上述问题我们就可以向学生自然地引出全概率公式的内容。
二、全概率公式
1. 全概率公式的表述
定理[1] 设随机试验的样本空间为
满足为的一个划分,且,则对样本空间中任意事件,恒有:
2.全概率公式的深入理解
全概率公式的基本思想是把复杂的随机事件表示成已知概率的随机事件或易于求得概率的随机事件的表达式,再展开计算其概率,即利用概率的加法定理来得到该复杂事件的概率,故在使用全概率公式时,关键是找到一个互斥的事件组对样本空间S做一个划分,再利用加法公式计算其概率,如下图所示:
利用划分可以帮助学生理解公式的证明,但在实际应用中找到一个合适的划分有时并不方便,故我们还可以换一个角度去实现全概率公式的应用,回顾之前的引例,可以看出如果某一事件的发生有各种可能的前提原因,即是由原因所引起,且每一种原因都可能导致发生,故发生的概率是各原因引起发生概率的总和,因此全概率公式也可以看成”知因求果”型问题的概率计算公式,这种理解可以帮助学生在现实中更为容易地应用全概率公式。
三、 全概率公式应用实例
一个综艺节目中,主持人向嘉宾展示三个小球(只有一个小球内中有字),让嘉宾选择,如果选中内中有字的小球则可获得大奖,当嘉宾选中一个小球,主持人打开未选中的两个小球中的一个展示给嘉宾(内中没有字),这是嘉宾可以选择在未打开的两个球中是否交换,问题是当交换了小球后获得大奖的概率球没有增加?
分析:如果中途交换小球,那赢得大奖的概率将受到第一次选择的影响,当第一次选择的结果被确定下来,我们就可以计算出在此基础上赢得大奖的概率,这符合”知因求果”型问题的描述,适用全概率公式计算。
解:设随机事件为中途交换小球最终赢得大奖,分别为第一次的选择,则有:
易知如果没有交换小球则获得大奖的概率为1/3,故换了之后赢得大奖的概率会增大。
结语
为了降低学生学习全概率公式的难度,本文从一个实例出发循序渐进的引出全概率公式的内容和推导过程,利用图形和"知因求果"型问题的描述两个方面引导学生理解公式的应用背景,帮助学生更容易的学习全概率公式的内容。
参考文献
[1]李裕奇.概率论与数理统计第4版[M].北京.国防工业出版社,2014.
[2]周培培.关于全概率公式的课堂教学体会[J].科教文汇(中旬刊),2018(12).
[3]苏佳琳,胡珍妮,常在斌.浅谈全概率与贝叶斯公式的教学方法[J].知识经济,2018(18):144-145.
[4]上海交通大学数学系.概率论与数理统计第2版[M].北京.科协出版社.2007.
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