单位文秘网 2021-07-18 08:11:33 点击: 次
摘要:贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。我们就贝努里概型及其应用展开了解。
关键词: 贝努里概型 贝努里试验
中图分类号: O21文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2015)01(a)-0000-00
伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样的显赫。这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家,其中有八位数学家,其中三位是杰出的,他们是雅可布、约翰、丹尼尔。而贝努里概型就是雅可布.贝努里提出来的。
贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。而且,揭示这种简单概型的规律,对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。
1 预备知识
在许多概率问题中,试验中某事件 是否发生受到的关注较多。例如,在产品调查中注意的是抽到次品还是抽到正品;在掷硬币时注意的是出现正面还是反面等,在这类问题中试验产生的结果只有两个,即 和 。像这样只有两个可能结果的试验成为贝努里试验,投币试验就是最简单的贝努里概型。在相同的条件下,将同一个试验独立重复进行 次,这种随机试验称为 重贝努里试验。现在我们来看看 重贝努里试验的定义。
1.1贝努里概型的定义
关于 重贝努里概型的定义,尽管在各种教材的叙述不尽相同,但都是指满足下列条件的一系列实验:
(1) 次试验时独立的,即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关;
(2)每次试验只有两个结果 和 ,且它们出现的概率 , 在每次试验中是不变的。
则称这种试验为 重贝努里( )试验,简称贝努里试验或贝努里概型。
在 重贝努里试验中,事件 恰好发生 次的概率为:
例1 (巴拿赫( 火柴盒问题)某人随身带有两盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴,经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒火柴中各有 根火柴,求这时另一盒中还有 根的概率。
解 我们不妨把使用一次火柴看作一次试验,每次试验的结果只有两个:取于甲盒(记为 )和取于乙盒(记为 ),由于使用时从任一盒中取,因此 .假如甲盒已空乙盒还剩 根火柴,则在此之前已经取过 次,其中恰好有 次取于甲盒,有 次取于乙盒,二 次必取于甲盒,因此这种情况的概率为:
假如乙盒已空而甲盒还剩 根火柴,同样的道理可得这种情况的概率为:
因此一盒火柴已经用完而令一盒中还剩 根的概率为:
我们知道进行贝努里试验时随机变量只取有限个,所以贝努里概型就是离散型概率分布,而贝努里概型与四种重要的离散概率分布之一——二项分布之间有着重要联系,可以说二项分布是贝努里概型背后的影子。
1.2贝努里概型和二项分布
在 重贝努里试验中,设 表示 重贝努里试验中事件 发生的次数,则 的可能取值为 我们知:
而 恰好是二项式 的展开式的第 项,称此分布列为二项分布,记为 。
特别当 时,我们称二项分布为 分布或两点分布,它描述了一次伯努利试验中事件 发生的次数,“抛硬币”试验等都可以用 分布的随机变量来表述。现结合下面的例题来阐明它们之间的关系。
例2 某种药品的过敏反应率为 ,今有 人使用此药品,求这 人中至少有 人发生过敏反应的概率。
解 以 表示 人中发生过敏反应的人数,那么 服从二项分布 ,故所求概率为:
这个概率很接近于 。这表明虽然药品的过敏反应很低,但如果 人使用此药品,则至少 人发生过敏反应是几乎可以肯定的。这个事实说明,一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验的次数很多,而且试验是独立进行的,那么这一事件发生几乎是肯定的,这告诉人们决不能轻视小事件。
贝努里概型还与概率论中的另一重要的概率模型——古典概型有着千丝万缕的联系,它们好像一对双胞胎兄弟,咋一看貌似长一样,但究其根源却有着本质的区别,下面我们就来看看贝努里概型与古典概型之间的联系。
1.3贝努里概型和古典概型
古典概型是概率论中最早被研究的概率模型,是一类较简单的随机试验。
定义 如果一个随机试验满足下述两个条件:
(1)有限性 它的基本事件空间只有有限个基本事件;
(2)等可能性 每个基本事件出现的可能性相等;
则称这种随机试验為古典随机试验, 即古典概型。
贝努里概型、古典概型各有各的定义、条件及计算方法。但在有些问题的计算上可以看作是古典概型也可以视为贝努里概型,所以在分析问题的时候要首先根据问题的内容来正确区别所属概型, 然后再选择不同的方法计算, 这样才能得出正确的结论。现结合下面的例题来阐明它们之间的联系。
例3 抛一枚均匀硬币, 正面或反面出现的概率都是 , 反复这样的投掷, 数列 定义如下:
,第 次投掷出现正面,
,第 次投掷出现反面,
设 。试分别求满足下列条件的概率:
(1) ;
(2) 且 。
解法一 可视为古典概型
(1)当 时,在试验中,正面是5次、反面是3次。有利事件数 ,基本事件数 ,故所求概率为:
(2)当 时,当前两次是两正或两反,又 ,故后六次中出现3反或5正1反,故基本事件数 ,有利事件数 ,所以概率为:
.
解法二 可视为贝努里概型
(1)概率为:
(2)将后六次任意投掷一枚硬币视为贝努里概型,则
由以上讨论可见, 同一问题有时可用两种概型来解决.这样有利于开拓思想, 启发思维, 提高能力, 同时一题多解也是检验答案是否正确的有效方法。但并不是所有题都可以用上述两种解法解答的。现结合下面的两个例题来阐明它们之间的区别。
例4 袋中有 个白球, 个黑球,从中任意取出 球(不放回),求取出球的颜色顺序为黑白黑的概率。
解 这是古典概型,可直接按古典概率的公式求解,由于是不放回抽取,故不是独立试验,因此不属于贝努里概型。
设 ={任意取出3球, 顺序为黑白黑}, 则
设某人投篮时投中的概率是 , 试求该人投篮8 次中恰好命中3 次的概率.
显然这是一个贝努里概型, 所求概率为:
因为该人每次投中的概率 为无理数,而古典概率定义 必为有理数, 因此这样的试验不是古典概型.改 为有理数,则就完全相反了。
顺便指出,我们进行 次贝努里试验,当 很大时,计算贝努里概型中的数值是很困难的,现在我们令 ,则 且 ,可以得到 。而我们从泊松分布的定义知: 是泊松分布的分布列,那么我们可以把泊松分布看做贝努里概型的近似计算。
定理3.1.1(泊松定理) 设 重贝努里试验中,事件 在一次试验中出现的概率为 (与试验次数 有关),若 ( 为常数),则对固定的 ,有
这个定理叫做泊松定理。即在泊松分布中当 充分大、 较小,且乘积 适中,(一般来说, )时有:
现结合下面的例题来体会利用泊松分布对二项分布进行近似计算:
例5 有 名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险,每个投保人在年初需交纳 元保费,而在这一年中,若投保人死亡,则受益人可以从保险公司获得 元保费。据生命表知,这类人的年死亡率为 。问保险公司在这项业务上至少获利 元的概率。
解 设 为 名投保人在一年中死亡的人数,则 服从二项分布 。由于 很小,所以可用 的泊松分布 作近似计算。由题意知,“保险公司在这项业务上至少获利 元”就相当于 ,于是所求概率为:
由此可以看出,保险公司在这项业务上至少获利 元的可能性非常之大。
结束语
参考文献
[1] 惠存阳.贝努里概型教学浅谈.延安教育学院学报,2004.69-70.
[2] 卢崇飛.贝努里概型.数学通报,1960 .23-25
[3] 钱敏平.贝努里学会第一届世界大会情况简介.数学通报,1994.284-286.
[4] 吴清和.谈谈古典概型和贝努里概型.高中数学教与学,2004.48-49.
[5] 王凯.在贝努里概型中有关一事件连续发生的概率问题.北京联合大学学报,1993.68-70.
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