单位文秘网 2021-08-30 09:00:42 点击: 次
摘要:随着计算机的发展及其岩土工程领域应用的不断深入,岩土工程数值模拟方法得到了空前的发展。本文对目前岩土工程数值模拟方法进行了简要的介绍和评价,可供相关人员在岩土工程数值模拟方法时参考。
关键词:岩土工程 数值模拟有限差分有限元边界 元离散 元无界元
1.引言
近几十年来,随着计算机应用的发展,数值计算方法在岩土工程问题分析中迅速得到了广泛应用,大大推动了岩土(体)力学的发展。在岩土(体)力学中所用的数值方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法、边界元法、加权余量法、半解析元法、刚体元法、非连续变形分析法、离散元法、无界元法和流形元法等。下面就对这些方法进行简要的介绍和分析。
2.有限差分法
有限差分法是一种比较古老且应用较广的一种数值方法。它的基本思想是将待解决问题的基本方程和边界条件近似地用差分方程来表示,这样就把求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。亦即它将实际的物理过程在时间和空间上离散,分解成有限数量的有限差分量,近似假设这些差分量足够小,以致在差分量的变化范围内物体的性能和物理过程都是均匀的,并且可以用来描述物理现象的定律,只是在差分量之间发生阶跃式变化。有限差分法的原理是将实际连续的物理过程离散化,近似地置换成一连串的阶跃过程,用函数在一些特定点的有限差商代替微商,建立与原微分方程相应的差分方程,从而将微分方程转化为一组代数方程,通常采用“显式”时间步进方法来求解代数方程组。
3.有限单元法
有限元法将连续的求解域离散为有限数量单元的组合体,解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起,且单元本身又可有不同的几何形状,所以可以适应各种复杂几何形状的求解域。它的原理是利用每个单元内假设的近似函数来表示求解区域上待求的未知场函数,单元内的近似函数由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。这就使未知场函数的节点值成为新未知量,把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。只要解出节点未知量,便可以确定单元组合体上的场函数,随着单元数目的增加,近似解收敛于精确解。按所选未知量的类型,有限元法可分为位移型、平衡型和混合型有限元法。位移型有限元法在计算机上更易实现,且易推广到非线性和动力效应等方面,故比其他类型的有限元法应用广泛。
4.边界元法
边界元法出现在20 世纪60 年代,是一种求解边值问题的数值方法。它是以Betti 互等定理为基础,有直接法与间接法两种。直接边界元法是以互等定理为基础建立起来的,而间接边界元法是以叠加原理为基础建立起来的。边界元法原理是把边值问题归结为求解边界积分方程的问题,在边界上划分单元,求边界积分方程的数值解,进而求出区域内任意点的场变量,故又称为边界积分方程法。边界元法只需对边界进行离散和积分,与有限元法相比,具有降低维数、输入数据较简单、计算工作量少、精度高等优点。比较适合于在无限域或半无限域问题的求解,尤其是等效均质围岩地下工程问题。边界元法的基本解本身就有奇异性,可以比较方便地处理所谓奇异性问题,故目前边界元法得到研究人员的青睐。
5.加权余量法
加权余量法也是一种求解微分方程的数值法,它在流体力学、热传导以及化学工程等方面应用较广。它具有两个方面的优点:①由于加权余量法是直接从控制方程出发去求解问题,理论简单,不需要复杂的数学处理,且它的应用与问题的能量泛函是否存在无关,因而它的应用范围较广,利用加权余量法这一优点去建立有限单元的刚度矩阵,可以大大扩展有限元法的应用范围;②加权余量法的计算程序简单,要求解的代数方程组阶数较低,对计算机内存容量要求不高,计算所需要的原始数据较少,这样就大大减轻了准备工作量。
6.半解析元法
半解析元法是Y. K. Cheung 于1968 年提出来的,同有限元法一样,它也是基于变分原理的。不同点是半解析元法根据结构的类型和特点,利用部分已有的解析结果,选择一定的位移函数,使解沿某些方向直接引入已知解析函数系列,而不再离散为数值计算点,因此自由度和计算量大大降低。这几年半解析法发展很快,种类很多,主要包括有限条法、有限层法、有限厚条法、有限壳条法、样条有限元法以及无限元法等。这类方法适用于求解高维、无限域及动力场等较复杂的问题。
7.无界元法
无界元法是P. Bettess 于1977 年提出来的,用于解决用有限元法求解无限域问题时,人们常会遇到的“计算范围和边界条件不易确定”的问题,是有限元法的推广。其基本思想是适当地选取形函数和位移函数,使得当局部坐标趋近于1 时,整体坐标趋于无穷大而位移为零,从而满足计算范围无限大和无限远处位移为零的条件。它与有限元法等数值方法耦合对于解决岩土(体)力学问题也是一种有效方法。上述介绍的几种数值法都是针对连续介质的,只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。
8.离散单元法
离散单元法随着非连续岩石力学的发展而不断进步,与现有的连续介质力学方法相比,还有以下问题需要研究:
(1)刚体离散单元法是基于非连续岩石力学的,更适合于低应力状态下具有明显发育构造面的坚硬岩体的变形失稳分析。对于软弱破碎、节理裂隙非常发育和高应力状态下的岩体变形失稳分析,则不适合。
(2)岩体介质种类繁多,性质非常复杂。在通常情况下,节理岩体或颗粒体表现为非均质和各向异性,并且常表现有很强的非线性,所处的地质环境不尽相同,这就使得岩土工程计算有很多不确定性因素。离散元的主要计算参数(如阻尼参数、刚度系数),影响到岩土工程稳定过程的正确模拟以及最终结果的可靠性,尤其是离散元计算中的参数选取,没有统一和完善的确定方法。
(3)计算时步的确定。现在的选取原则是出于满足数学方程趋于收敛的条件,与实际工程问题中的“时间”概念如何联系起来,合理地考虑时间效应,是今后需要研究的问题。
(4)迭代运算的时间较长。用计算机进行离散元计算时,CPU 占用时间较多,特别是在考虑岩块变形的情况下,模型划分单元数受到限制,对迭代方法需做进一步的改进。
9.刚体节理元法
刚体节理元法是Asai 在1981 年提出的,它是在Cundall 刚体离散元间夹有Goodman 节理单元的组合单元,但此节理单元有一定厚度而使离散元间不能“叠合”。刚体节理元法也可考虑不含节理单元的情况,即所谓的单一三角形刚体元非连续变形分析法,是石根华博士和古德曼教授于1984 年首次提出的一种新型数值分析方法,至1988 年该方法已形成了一种较为完整的数值计算方法体系。非连续变形分析方法以严格遵循经典力学规则为基础,是一种平行于有限元法的数值计算方法。
10.流形元方法
流形元方法是由石根华等人于1992 年提出的一种新的数值分析方法。流行元法的原理是以拓扑学中的拓扑流形和微分流形为基础,在分析城内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的物理覆盖,在每一物理覆盖上建立独立的位移函数,将所有覆盖上的独立覆盖函数加权求和,即可得到总体位移函数。然后,根据总势能最小原理,建立可以用于处理包括非连续和连续介质的耦合问题、小变形、大变形等多种问题。它是一种具有一般形式的通用数值模拟分析方法,在某种意义上讲,有限元法和非连续变形分析法都可看做是它的特例。
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