单位文秘网 2021-07-19 08:19:39 点击: 次
【摘要】条件概率在概率论中占有相当重要的地位.文章着重分析了条件概率的概念、特点,条件概率的公式及现实意义以及条件概率在现实生活中的应用.此外,本文除了注重它的科学工具价值外还注重挖掘它的育人功能,从概率统计的育人价值入手提到了概率统计的思维方法,以推动概率与统计课的教学改革,充分发挥它的育人功能.
【关键词】条件概率;现实意义;科学思维
一、引 言
条件概率是在解决各种实际问题的实践过程中发展起来的,在国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生物、医学、金融、保险等很多领域都有大量应用,具有丰富的实际背景.因此,与其他数学内容相比,条件概率课程的学习,更有利于促进学生形成良好的科学品质.主要包括培养学生探索、创新、决策、合作等精神.当条件概率在教学中逐步扮演重要角色的时候,充分认识概率统计课的教育价值,发挥它的育人功能,必能促进学生综合素质的提高.
正如著名数学家拉普拉斯说的:“虽然它(概率统计)是从考虑某一低级的赌博开始的,但它却成为人类知识中最重要的领域……生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率问题.”
二、条件概率概述
1.条件概率的含义
在事件B已经发生的条件下考虑事件A的概率,则这种概率称为事件A在事件B已经发生条件下的条件概率,记为P(A|B).
例1 一批同类产品共14件,其中由甲厂提供的6件中有4件优质品,由乙厂提供的8件中有5件优质品.试考察下列事件的概率.
(1)从全部产品中任取的一件是优质品;
(2)从甲厂提供的产品中任抽1件,而被抽的这一件是优质品.
解 设A=“抽到的产品是优质品”,B=“抽到甲厂提供的产品”。
(1)P(A)=914.①
(2)P(A|B)=46.②
如果把事件B已经发生这个前提看作是形成条件概率P(A|B)的附加条件,则相对而言,仅在原有样本空间Ω上求出的概率P(A)可称为无条件概率.这样,给定题设下的P(A)与P(A|B)不仅数值不相等而且意义也是不同的.下面讨论它们的关系.
沿用例1的题设、记号以及事件.
AB=“从全部产品中任抽的一件既是甲厂的产品又是优质品”,故P(B)=614,P(AB)=414.
于是P(A|B)=46=414614=P(AB)P(B).③
类似地,从优质品中任抽一件,而该优质品由甲厂提供的概率为
P(B|A)=49=414914=P(AB)P(A).④
上述两式表达了条件概率与无条件概率的关系,而且可以证明,在古典概型下,只要P(B)>0或P(A)>0,那么表达式③或④总是成立的.
2.条件概率的计算方法
方法一 在问题中根据事件B发生的结果(包含基本事件),缩减样本空间为B,在B中求事件A发生的概率,即为条件概率P(A|B),如表达式②.
方法二 利用条件概率公式P(A|B)=P(AB)P(B),在样本空间Ω中求概率P(AB)和P(B),再求条件概率P(A|B),如表达式③.
三、有关条件概率的三个重要公式
以条件概率为基础,可得出乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式.
1.乘法公式
一方面,由已知的P(B)和P(AB)去求P(A|B)用表达式③.
另一方面,从已知的P(B)和P(A|B)去求P(AB),有
P(AB)=P(B)•P(A|B).(3.11)
公式(3.11)叫做乘法公式.
从(3.11)式出发可以导出更一般的乘法公式,即为下面的定理:
若P(A1A2…An-1)>0,
则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).(3.12)
(3.11)式的重要性在于:有时从条件概率的直观意义出发比较容易得出P(A|B)的值,然后用公式(3.11)求出比较复杂的事件AB的概率.
2.全概率公式
有一类事件,可以借助另外的事件组分解为若干比较简单的事件,把这些简单事件的概率叠加起来,就可以计算该事件的概率,这就是全概率公式.
设A1,A2,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,有
P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai).(3.21)
公式(3.21)称为全概率公式.
全概率公式将事件B分解为BA1,BA2,…,BAn共n个互不相容事件的和,B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn.
如果概率P(Ai),P(B|Ai)(i=1,2,…,n)易算,则
P(B)=∑ni=1P(BAi)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai).
所以全概率公式的思想方法是化整为零,关键是恰当地选取与该事件相关的完备事件组A1,A2,…,An,且概率P(Ai),P(B|Ai)(i=1,2,…,n)易算.
例2 假设明天的天气与今天的天气相同的概率为13,而新年第一天是晴天的概率为14,试求第n天仍是晴天的概率.
解 设Ai=“第i天为晴天”,i=1,2,…求P(An).它是一个与n有关的量,为了计算它,建立P(Ai)与P(Ai-1)间的递归关系.显然Ai-1,Ai-1为完备事件组,由全概公式得
P(Ai)=P(Ai-1)P(Ai|Ai-1)+P(Ai-1)P(Ai|Ai-1)
=13P(Ai-1)+23[1-P(Ai-1)]
=23-13P(Ai-1)(i≥2).
将上式改写为:P(Ai)-12=-13P(Ai-1)-12(i≥2).
于是∏ni=2P(Ai)-12=∏ni=2-13P(Ai-1)-12,
P(An)=12+-13n-1P(A1)-12 .
根据题意,P(A1)=14,从而
P(An)=12+(-1)n14•3n-1.
3.贝叶斯公式
全概率公式解决的问题是借助完备事件组{Ai}来计算某一事件B的概率,若已知发生了某一事件B,求完备事件组中某个Ai发生的条件概率,可用下述定理表述.
设A1,A2,…,An是一完备事件组,对于任意的事件B,若P(B)>0,则有
P(Aj|B)=P(AjB)P(B)
=P(Aj)P(B|Aj)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai),(j=1,2,…,n).(3.31)
公式(3.31)称为贝叶斯公式.公式的实际背景是:已知出现了试验“结果”B,要求推断哪一种“原因”(Aj)产生“结果”B的可能性大.比较各个P(Aj|B)的大小,若P(Ak|B)是诸P(Aj|B)中最大的,这表明产生“结果”B的最可能“原因”是Ak.
由上面可以看出,全概率公式是“由因导果”,而贝叶斯公式是“由果溯因”,所以全概率公式和贝叶斯公式是相反的两个过程.
结论:乘法公式是事件求交的概率,全概率公式是求一个复杂事件的概率,而贝叶斯公式是求一个条件概率.
四、条件概率在现实生活中的应用
伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊,山里有狼出没.第一天,他在山上喊:“狼来了!狼来了!”山下的村民闻声便去打狼,可到山上,发现狼没有来.第二天仍是如此.第三天,狼真的来了,可是无论小孩怎么喊叫,也没有人来救他,因为前两次他说了谎,人们不再相信他了.
现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的.
首先记事件A为“小孩说谎”,记事件B为“小孩可信”.不妨设村民过去对这个小孩的印象为
P(B)=0.8,P(B)=0.2.(4.1)
我们用贝叶斯公式来求P(B|A),即这个小孩说了一次谎后,村民对他可信度的改变.
贝叶斯公式中概率P(A|B)和P(A|B)的含义是:前者为“可信”(B)的孩子“说谎”(A)的可能性,后者为“不可信”(B)的孩子“说谎”(A)的可能性.在此不妨设P(A|B)=0.1,P(A|B)=0.5.
第一次村民上山打狼,发现狼没有来,即小孩说了谎(A).村民根据这个信息,对这个小孩的可信程度改变为(用贝叶斯公式)
P(B|A)=P(B)•P(A|B)P(B)•P(A|B)+P(B)•P(A|B)
=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444.
这表明村民上了一次当后,对这个小孩的可信度由原来的0.8调整为0.444,也就是(4.1)调整为
P(B)=0.444,P(B)=0.556.(4.2)
在此基础上,再一次用贝叶斯公式计算P(B|A),亦即这个小孩第二次说谎后,村民对他的可信程度改变为
P(B|A)=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138.
这表明村民们经过两次上当,对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138.如此低的可信度,村民们听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢?
这个例子启发人们:若某人向银行贷款,连续两次未还,银行还会第三次贷款给他吗?
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【参考文献】
[1]余长安.概率论与数理统计.武汉:武汉大学出版社,2007.
[2]夏宁茂,等.新编概率论与数理统计.上海:华东理工大学出版社,2006.
[3]茆诗松,程依明,濮晓龙.数理统计教程.高等教育出版社,2004.
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