单位文秘网 2021-07-18 08:12:23 点击: 次
摘要 通过具体实例阐述条件概率的概念及其应用,探讨条件概率的实践教学策略,让学生在实践中培养自我学习能力和分析、解决问题的能力。
关键词 条件概率;乘法公式;全概率公式与贝叶斯公式
中图分类号:G642.4 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2010)24-0036-02
Discussion on Teaching and Practice Conditional Probability//Wang Fengying, Li Nianwei
Abstract The definition and application of Conditional Probability are indicated by several specific examples. Good examples can be effectively realized Conditional Probability’s teaching activities. We try to focus on cultivate students’ interests in course and the path to improve their self-study ability and applying ability at the same time.
Key words conditional probability; multiplication formula; complete probability formula and Bayesian formula
Author’s address School of Information, Beijing Wuzi University, Beijing, China 101149
条件概率在概率论的知识体系中起着承上启下的作用,是概率计算的工具和给出概率论中某些重要公式的基础。概率论与数理统计这门课作为来源于生活中实际问题的数学课,它有着丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论,可以使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。因此,在条件概率的教学中引入实践教学不仅有利于改变传统数学教学重理论轻实践、枯燥乏味的状况,激发学生的学习兴趣,使学生由被动学习变为主动学习,还有利于提高学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
1 由实例引入概念
通过对简单例子的分析,由概率过渡到条件概率概念,这是条件概率教学中常用的并且也是教学效果最好的方法。这样做可以使学生容易理解条件概率的概念以及它与在这之前学的无条件概率的关系。
例1我校有大学生奥运志愿者200名,男女各半,且男女大学生中精通法语者分别有20人和30人。现从这200名志愿者中任选1名,求下列事件的概率:1)该志愿者精通法语;2)该志愿者为女大学生;3)该志愿者为精通法语的女大学生;4)若已知选出的是女大学生,则她是精通法语者。
解前3个问题是典型的古典概型问题,是在样本空间Ω不变的情况下的无条件概率。设事件A=“该志愿者精通法语”,事件B=“该志愿者为女大学生”,则所求概率分别为:1)P(A)=50/200=1/4;2)P(B)=100/200=1/2;3)P(AB)=30/200=3/20。
问题4也是古典概型,但在原样本空间下多了一个附加条件B,这就使得样本空间发生变化,缩减为(即100名女志愿者),在中利用古典概型计算出P(A/B)=30/100=3/10。
由此例可以得出以下结论。
1)。这是因为求P(A)时并不知B是否发生,B可能发生也可能不发生,;而在求P(A/B)时,B已经发生,肯定不发生,此时只在“B发生”的条件下讨论。
2)一般说来,条件概率P(A/B)与无条件概率P(A)之间并没有什么必然的联系。“事件B已经发生”这一条件可能使P(A)
3),这一结论对一般的古典问题同样成立。
为此,引入条件概率的定义:设A,B是随机试验的两个事件,且,则为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率;同理,当,为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
应特别指出,条件概率满足概率的公理化定义和性质,所以,条件概率仍是概率。
2 乘法公式
初学条件概率的学生,易将条件概率P(A/B)与“事件A与B的交”的概率P(AB)混淆。因此,一旦明确条件概率的定义后,就应指出这二者的区别与联系,这个联系的纽带就是乘法公式。
P(AB)是在随机试验E中,原样本空间Ω下事件A与B同时发生的无条件概率,如例1中的问题3;而P(A/B)是在E中,附加一条件B已经发生,在新样本空间下事件A又发生的概率。因此,事件“AB”与“A/B”是两个完全不同的事件。乘法公式给出这两个事件概率之间的关系,即:),;或),。
此时用例子来加以说明,可使学生更好地理解乘法公式的概念。
例2从色盲率为5%的100个男人中,采用不放回方式任意选出2人,每次1人,求:1)“在已知第一人是色盲的条件下,第二人也是色盲”的概率;2)“两人都是色盲”的概率;3)“第二人才是色盲”的概率。
解设A表示“第一人是色盲”,B表示“第二人是色盲”。
1)所求概率为条件概率,;
2)这是“事件A与B的交”的概率,;
3)对于初学者,易将此事件误认为是“在第一人不是色盲的条件下,第二人是色盲”,但本问题相当于第一人不是色盲,而第二人是色盲,故此问题属于两个事件交的概率问题,即。
3 条件概率的应用——全概率公式与贝叶斯公式
要计算一个复杂事件的概率,可把该事件分解成若干互不相容的简单事件的并事件,然后利用加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率,这就是全概率公式;若已知试验结果,要寻求导致该结果发生的若干原因中的一种原因发生的可能性,要用到贝叶斯公式。
设为样本空的一个事件组,且满足:1)互不相容,且;2)。
B为中的任意一个事件,则有:
全概率公式:;
贝叶斯公式:
。
例3某卡车运送抗震救灾用品,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩,2箱医用口罩,3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失一箱,不知丢失哪一箱。求:1)从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩的概率;2)如果从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的1箱也是民用口罩的概率。
解设A=“任取2箱都是民用口罩”,B1=“丢失的1箱为民用口罩”,B2=“丢失的1箱为医用口罩”,B3=“丢失的1箱为消毒棉花”,则,, 。
,,。
1)由全概率公式得:。
2)由贝叶斯公式得:。
例4某厂有4个车间生产同一种产品,其产量分别占总产量的0.15、0.2、0.3、0.35,各车间的次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02。有一用户买了该厂1件产品,经检查是次品,用户按规定进行索赔。厂长要追究生产车间的责任,但是无法辨别该产品是哪个车间生产的,问厂长如何追究生产车间的责任?
解由于不知该产品是哪个车间生产的,因此每个车间都要负责任,各车间所负责任的大小应该正比于该产品是各个车间生产的概率。设“该产品是j车间生产的”,j=1,2,3,4;B=“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”。则第j个车间所负责任的大小为条件概率(j=1,2,3,4)。
由题意,有0.15,,,0.35。0.05,0.04,0.03,0.02。
由全概率公式得:。
贝叶斯公式得:=
0.238,,
,。
根据4个概率值,可适当追究各车间的责任。
熟练掌握并能灵活运用条件概率的概念,准确区分条件概率与无条件概率,特别是事件“A/B”与“AB”的关系,是学好条件概率的基础,也是学好概率论课程的重要环节之一。在实践教学过程中,灵活运用多种教学方式,使学生在掌握基本知识和方法的同时培养分析和解决问题的能力,也提高学生学习概率论与数理统计的兴趣,还有利于培养学生的创新精神和实践能力,更能体现以人为本的教育理念。
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