单位文秘网 2021-07-18 08:15:57 点击: 次
摘要:在数学概率的课堂教学中,包括数学期望,方差,协方差和相关系数在内的数字特征会被我们经常使用。数学期望是每次做试验时,它有可能显示的结果的概率乘以它所出现的结果的总和,在数学特征中是最基本的。本文介绍了数学期望的相关定义,以及用列举实例的方法来对数学期望的计算方法进行了探讨,其中包括不同的计算方法,从而揭示数学期望的重要性,以及计算数学期望的方法和意义。
关键词:数学期望;随机变量;计算方法
一、数学期望概论
在概率论和数理统计学中,随机变量的概率是一些随机变量的值域,以及取各个可能值的概率的总称,它能够较为全面地描述关于随机变量的统计特征,为解决数学问题提供方便。但如果是在实际的生活中,我们会更关心随机变量的某些特征,例如在评价某公司的电灯泡寿命的时长时,我们更关心的是平均寿命。数学期望无论是在理论上还是实践上都具有重要的意义,它们能够更简洁,更清晰地反映出反应随机变量的本质。
然而如何對数学期望进行计算才是解决问题的关键,有很多关于数学期望的计算方法,这篇文章就是对于数学期望进行研究,关于它的一些计算方法,其中有使用数学期望的定义,和一些性质,它的对称性,还有特征函数,以及母函数等多种方法进行计算。希望对数学期望的有关于计算方法方面有个较为全面的了解,并且能够灵活运用,使计算过程变得更简洁。
二、数学期望计算
1.利用定义计算
利用数学期望的定义对数学期望进行计算是最基本的方法之一。数学期望的定义包括离散型随机变量的数学期望和连续型随机变量的数学期望,计算时可以使用公式E(x)=∫+
SymboleB@ -
SymboleB@ xf(x)dx或E(x)=∑
SymboleB@ i=1xipi(i=1,2…)。大部分时候用定义法都能很好的进行计算,但是有些时候纯粹用定义法比较繁琐。
例1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,求E(X).
解:X服从p(λ),分布列为P(X=k)=λkk!e-λ,k=1,2…(λ>0),
那么E(X)=∑
SymboleB@ k=0kλkk!e-λ=∑
SymboleB@ k=1kλkk!e-λ=λe-λ∑
SymboleB@ k=1λk-1(k-1)!,
令i=k-1,E(X)=λe-λ∑
SymboleB@ i=0λii!=λe-λ·eλ=λ。
2.利用分解法计算
在数学期望的计算中,利用定义计算的过程感觉十分复杂时,可以将随机变量分解成若干个随机变量的和,并且利用随机变量和期望公式E(ξ1+ξ2+…+ξn)=E(ξ1)+E(ξ2)+…+E(ξn)
把E(ξ)的计算变成了求这若干个随机变量的期望,使E(ξ)的计算大大简化,这种解决问题的方法具有一定的意义。
例2.设ξ~N(m,σ12),η~(n,σ22),求E(7ξ-11η-3)。
解:因为ξ~N(m,σ12),η~(n,σ22),所以E(ξ)=m,E(η)=n.
可得E(7ξ-11η-3)=7E(ξ)-11E(η)-3=7m-11n-3。
本例使用了公式E(c1ξ1+c2ξ2+…cnξn+b)=c1E(ξ1)+c2E(ξ2)+…cnE(ξn)+b
使得比原来要使用的二维连续型随机变量函数的公式
E(ζ)=E[φ(ξ,η)]=∫
SymboleB@ -
SymboleB@ ∫
SymboleB@ -
SymboleB@ φ(x,y)f(x,y)dxdy要简洁得多。
3.利用对称性计算
在古典概型以及几何概型中,它们所拥有的可能性是相等的,我们将之称为对称性。使用对称性的计算可以在一定程度上简化计算过程。
例3.设在区间(a,b))上随机地取几个点,关于距离的最远的两个点之间的距离,求它的数学期望。
解:设ξ表示距离最远的两点间的距离,由于n个点把区间(a,b)分成(n+1)段,所以将它们的长度依次记作ξ1,ξ2,…ξn+1,所以ξ=ξ2+…+ξn且ξ1+ξ2+…+ξn+1=b-a
根据对称性,每个点ξi的概率分布都应该会一样,从而
Eξ1=Eξ2=…=Eξn=Eξn+1=(b-a)/(n+1)
所以,Eξ=(n-1)Eξ2=(b-a)(n-1)/(n+1)。
4.建立查分方程计算
在计算关于随机变量数学期望的时候,如果直接计算的话,可能会有些繁琐,那么其实可以考虑一下,利用差分方程,得到递推关系,这样去解决问题就会好很多。
例4.小李在进行试验,假设试验出现的N个结果的可能性都一样,求至少其中一个结果连续发生n次的独立试验次数的期望。
解:设An={至少有一个结局连接发生n次}ξn=“An出现时所需要的独立试验次数”
考虑事件An及An-1之间有什么关系,在An-1发生的条件下,或者继续试验一次,又发生了同样的结果,这样就会使得An的发生(其概率为1/N),或者再接着试验一次,没有发生这样的结果(其概率为1-1/N),但是发生了其他的结果,这样,要让An发生,相当于重新开始,那么它的期望次数是Eξn.所以Eξn=Eξn-1+1×1N+(1-1N)Eξn。即Eξn=NEξn-1+1.注意到Eξ1=1再根据递推关系可以得出
Eξn=1+N+N2+…+Nn-1=(1-Nn)/(1-N)即为所求的数学期望。
5.利用公式演变计算
对于取非负整数值的随机变量ξ的数学期望,把公式变形为Eξ=∑
SymboleB@ k=1p(ξk)是经常使用的一种方法。
例5.老师让小李和小红两个人比赛,假设每次小李赢的概率为P,小红赢的概率为1-p=q,只有当其中一个人连续赢了两局比赛才能结束,以ξ记比赛的次数,试求小李和小红要平均比赛多少次。
解:因为事件ξk表示k-1次为止都没有人连续赢得两局,不是小李赢了接着小红赢就是小红赢了接着小李赢,于是
P(ξ1)=1,P(ξ2k+1)=2pkqk,k=1,2…
P(ξ2k)=pkqk-1+pk-1qk=(pq)k-1,k=1,2…
由公式可得Eξ=1+∑
SymboleB@ k=12(pq)k+∑
SymboleB@ k=1(pq)k-1
=3∑
SymboleB@ k=0(pq)k-1=3/(1-pq)-1=(2+pq)/(1-pq)。
6.利用母函数计算
关于数学期望的计算,其实还可以用到母函数作为桥梁,让原函数转变为母函数再对其进行计算,有时对于比较复杂的题目也很方便使用。
例6.随机变量X服从巴斯卡分布,即P(ξ=n)=Ck-1n-1qn-kpk,n=k,k+1
,…,q=1-p,试求Eξ。
解:ξ的母函数为ψ(s)=∑
SymboleB@ n=kCk-1n-1qn-kpksn(令m=n-k)
=pksk∑
SymboleB@ m=0Ck-1m+k-1qmsm=pksk∑
SymboleB@ m=0Cmm+k-1(qs)m=pksk(1-qs)k。
所以,Eξ=ψ′(1)=Pk[ksk-1(1-qs)k+ksk(1-qs)k-1q(1-qs)2k]s=1=[kpksk-1(1-qs)k+1]s=1=kp。
7.利用特征函數计算
计算数学期望,有些时候如果使用特征函数进行计算可能会比直接去进行计算数学期望要好很多,首先可以算出它的特征函数,再找到它的数学期望存在的关系,最后求得数学期望,
例7.设X~N(μ,σ2),求EX.
解:由X~N(μ,σ2),可以求得X的特征函数f(t)为:
f(t)=EeitX=∫+
SymboleB@ -
SymboleB@ eitX·12πσe-(x-μ)22σ2dx=eiμt-12σ2t2
∴EX=1i[eiμt-12σ2t2]′t=0=1i[(iμ-12σ2·2t)eiμt-12σ2t2]t=0=μ。
8.利用条件期望计算
由条件概率和条件密度函数,可以考虑利用条件数学期望进行计算,条件期望指的是,关于固定的X=x,条件分布存在且下面S积分绝对可积是E(Y|X=x)=∫
SymboleB@ -
SymboleB@ ydFY|X(y|x),
离散型时E(Y|X=x)=∑jyjP(Y=yi|X=x),
连续型时E(Y|X=x)=∫
SymboleB@ -
SymboleB@ yfY|X(y|x)dy。
例8.设(X,Y)的pdf为f(x,y)=2·exp{-(x+y)},0 SymboleB@ ,求E(Y|x=1)。 解:求边际pdf,fX(x)=∫ SymboleB@ - SymboleB@ f(x,y)dy=∫ SymboleB@ x2e-2x,x>0 于是fY|X(y|1)=f(1,y)/fX(1)=2e-(1+y)/2e-2=e-(y-1) 所以E(Y|x=1)=∫ SymboleB@ - SymboleB@ yfY|X(y|1)=∫ SymboleB@ 1ye-(y-1)dy=∫ SymboleB@ 0(u+1)e-udu=1+1=2。 9利用标准化计算 计算数学期望时,可以考虑先去求标准化rv的期望,再利用期望性质求解,也常常使问题简化。 例9.设X~N(μ,σ2),求EX. 解:回忆X的标准化设X~N(0,1),其密度关于y轴对称,所以下面积分中的被积函数为奇函数,即可得EX=∫ SymboleB@ - SymboleB@ x12πe-x22dx=0. 由期望的线性性质得EX=E(σx+μ)=μ。 三、结语 数学期望在数学理论和实践中都是十分的有意义,本文介绍了有关数学期望的一些定义,并且列举了大量的解决数学期望计算的例题,不仅为解决数学期望的有关计算提供了一些理论基础,而且也为解决实际生活中的求平均值问题提供了有效途径。但是在利用方法解题时,要了解每种计算方法,并且要注意题目的前提条件,这样才能对解决问题的一些不同的计算方法进行灵活运用。本文所给出的计算方法虽然已有很多,但也并未将数学期望的所有的计算方法囊括其中,读者可以在闲余之际,多借鉴关于数学期望的其他的计算方法,以便更好的解决问题。 参考文献 [1]刘家春.概率论与数理统计.[M].北京:科学出版社,2011 [2]曾华,刘雁鸣,熊德之.概率论与数理统计.[M].北京:科学出版社,2013 [3]薛留根.概率论解题方法与技巧[M].北京:国防工业出版社,1996 [4]覃光莲.数学期望的计算方法探讨[J].高等理科教育,2006 [5]肖文华.数学期望的计算方法与技巧[J].湖南工业大学学报,2008 作者简介:程月青,1997年1月7日出生,性别女,汉族,籍贯江西南昌,现就读于江西师范大学教育学院18级课程与教学论专业。主要研究方向:数学。
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