单位文秘网 2021-09-02 09:09:36 点击: 次
摘要:Logistic方程是描述混沌现象的一个重要方程。本文以Euler-Bernoulli梁模型,采用Logistic方程研究了一类四阶微分方程的特征值问题。通过迭代方程对自然频率数值解的讨论,我们发现得到的解的精度很高,符合实际要求。
关键词:Logistic方程 四阶微分方程 特征值
混沌是一种极为复杂、貌似无规的运动, 是近年来理论物理学中引人注目的新课题。过去,人们一直认为确定性系统和随机系统在本质上是完全不同的, 而美国物理学家Feigenbaum创建的混沌学却将这两个系统联系起来。Logistic方程可以描述确定性系统这种从有序到混沌的过程。Logistic方程的表达式为:
x■=ux■(1-x■) n=0,1,...,N;x■∈[0,1] (1)
式中,u为控制参量。
一、问题的提出
我们采用Euler-Bernoulli梁模型讨论长为L,半径为R的两端自由的圆形截面梁的自然频率,其控制方程为:
EI■+?籽?住■=0 (2)
其中E,I,?籽,?住分别为弹性模量,惯性矩,密度和截面面积。我们考虑对称模态下自由边界条件下的自然频率,则方程(2)具有下面形式的通解:
?棕(x,t)=(Acos?姿x+Bsin?姿x)sin(?棕t+?准)(3)
其中?姿■=?棕■,?棕为圆形截面梁的自然频率,A,B为任意常数。进一步将会得到关于自然频率的特征方程:
tan■+tanh■=0(4)
为了方便起见,采用无量纲变换?棕■=?棕R■,其中G=■为剪切模量,v为泊松比,这样方程(4)变化为:
tan■+tanh■=0(5)
其中?姿■■=?棕■■,b=L/R,根据通常的取法,v=0,3,b=6,这样自然频率的求解就转化为方程(5)的零点的求解。
二、问题的求解及讨论
我们求解方程(5)的原理:当Logistic迭代方程中系数u ≥3.57时,系统处于完全混沌状态,混沌变量x■遍历[0,1]区间。我们根据这个原理及统计学原理,当迭代次数很多后,我们可以近似的认为取遍区间上每个局部的代表值,对这些代表值的函数值进行选择处理并控制精度,就能找出方程(5)的近似解。我们用MATLAB编出相关程序如下:
(1)u=0.4,x■=0.15迭代次数为100000次
运行结果为:
19.9479 12.4333 6.6862 19.9484 6.6863
19.9478 19.9478 0.5011 19.9483 19.9478
0.5011 19.9481 0.0000 19.9482 19.9481
19.9484 19.9481 19.9481 12.4330 19.9483
19.9482 19.9479 12.4331 19.9483 19.9480
19.9479 19.9482 19.9484
由于在19.9480附近出现了很多相近的值,这个时候我们可以修改一下程序,提高精度,得到更加准确的值。
clc;clear;
v=0.3;b=6;=sqrt(2/(1+v));
x1=0.15;
a1=19;
a2=20;
n=1;
for ii=1:5000
x1=x1*4*(1-x1);
w1=a1+(a2-a1)*x1;
f1=sqrt(w1*b^2*r);
ff1=tan(f1/2)+tanh(f1/2);
error=abs(ff1);
if error<10^(-5)
a(1,n)=w1
n=n+1;
end
end
运行结果为:19.9481
通过此方法对以上的数据简单处理:0.0000 0.5011 6.6862 12.4330 9.9481
(2)v=0.4,x1=0.15,迭代次数为200000次
对运行数据处理后:0.0000 2.7076
0.5011 6.6862 12.4330 9.9481
Lissa在文[1]中通过其他方法得到的结果为(表7):
■
运用Logistic方程迭代次数为200000次后的结果与上述结构是完全一致的(因为自然频率是大于零的,所以文[1]中没有考虑零解),这说明该方法的有效性,尤其当函数非常复杂,用其他数值方法求解时会带来很大的麻烦,用此方法尤为简单。在接下来的讨论中,我们研究了初始值对方程求解的影响,为了方便起见,将求解范围缩小至[2,3],
v=0.3;b=6;?姿=sqrt(2/(1+v));
x1=0.45;
a1=2;
a2=3;
n=1;
for ii=1:10000
x1=x1*4*(1-x1);
w1=a1+(a2-a1)*x1;
f1=sqrt(w1*b^2*r);
ff1=tan(f1/2)+tanh(f1/2);
error=abs(ff1);
if error<10^(-4)
a(1,n)=w1;
n=n+1;
end
end
对于初始值取x1=0.45,去迭代次数为一万次,运行结构为: 2.7076 2.7077,对于初始值0.25,我们将迭代次数提高到50万次后,仍将得不到满足条件的解,由此我们可以得出初始值对于迭代有很大的影响。从另外一方面说明了由于初始值的不同,即使迭代次数很大了,有些局部的数还是取不到,反映了混沌理论有其内在确定性,而非随机性。
三、结论
通过Logistic迭代方程对自然频率的特征方程讨论,我们发现得到的解的精度很高,符合实际要求,并且零点的求解高度依赖初始值,对于初始值的不同,可能会导致迭代次数的大幅度提高。
参考文献:
[1]A.W. Leissa, J. So, Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis, The Journal of the Acoustical Society of America, 98(1995) 2136--2141.
[2]黄润生. 混沌及其应用[M]. 武汉大学出版社, 2000.
作者简介:
刘瑜(1982- ),助教,本科,研究方向为微分方程应用.
(责编 张宇)
(责任编辑:单位文秘网) )地址:https://www.kgf8887.com/show-165-91384-1.html
版权声明:
本站由单位文秘网原创策划制作,欢迎订阅或转载,但请注明出处。违者必究。单位文秘网独家运营 版权所有 未经许可不得转载使用