单位文秘网 2020-08-27 16:34:22 点击: 次
山西省大同市花町学校2019-2020学年高三数学理模拟试题
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 右图给出了红豆生长时间(月)与枝数(枝)的散点图:那么“红豆生南国,春来发几枝.”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?
A.指数函数:
B.对数函数:
C.幂函数:
D.二次函数:
参考答案:
A
略
2. 已知函数设两曲线有公共点,且在该点处的切线相同,则时,实数的最大值是
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B12
【答案解析】D? 解析:依题意:,,因为两曲线,有公共点,设为,所以,因为,
所以,因此
构造函数,由,当时,即单调递增;当时,即单调递减,所以即为实数的最大值.
【思路点拨】分别求出函数f(x)的导数,函数g(x)的导数.由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,设为,则有,且,解出x0=a,得到b关于a的函数,构造函数,运用导数求出单调区间和极值、最值,即可得到b的最大值.
3. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,……,,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为 ( )
?
参考答案:
C
略
4. 若向量m= (-1,4)与n=(2,t)的夹角为钝角,则函数f(t)=t2—2t+1的值域是 ( )
A. B.
C. [0,81) (81,+∞) D. [0,+∞)
参考答案:
A
5. 执行如图所示的程序框图,输出的T=( )
A.21? B.43 C.53 D.64
参考答案:
B
执行程序框图,有S=4,n=1,T=3,不满足条件T>2S,S=7,n=2,T=7,不满足条件T>2S,S=10,n=3,T=13,不满足条件T>2S,S=13,n=4,T=21,不满足条件T>2S,S=16,n=5,T=31不满足条件,S=19,n=6,T=43满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为43.
故选:B.
6. 设变量a,b满足约束条件:若z=a-3b的最
小值为m,则函数f(x)=x3+x2-2x+2的极小值等于( )
A.- B.- C.2? D.
参考答案:
A
略
7. “”是“函数是奇函数”的充分不必要条件 必要不充分条件
?充要条件 既不充分也不必要条件
参考答案:
8. 下列命题中正确的是( )
A. 若为真命题,则为真命题.
B. “”是“”的充要条件.
C. 命题“,则或”的逆否命题为“若或,
则”.
D.命题p:,使得,则:,使得.
参考答案:
B
对于A选项,当真时,可能一真一假,故可能是假命题,故A选项为假命题.对于B选项,根据基本不等式和充要条件的知识可知,B选项为真命题.对于C选项,原命题的逆否命题为“若且,则”,故C选项为假命题.对于D选项,原命题为特称命题,其否定是全称命题,要注意否定结论,即:,使得.综上所述,本小题选B.
9. 已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
答案:D
解析:正方体外接球的体积是,则外接球的半径R=2, 正方体的对角线的长为4,棱长等于,选D
10. 已知函数的图象与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
作出函数图象,由三角函数的对称性可得x1+x2的值.
【详解】函数的图象,
对称轴方程:,∴,
又,∴对称轴方程:,由图可得与关于对称,
∴x1+x2=2,
故选B.
【点睛】本题考查三角函数图象的变化和性质,利用对称性是解决问题的关键,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等比数列的前三项依次为,则 ?
参考答案:
12. 设则?
参考答案:
110
13. 已知数列{an}中,,且,,数列{an}的前n项和为Sn,则 .
参考答案:
因为,所以,
因为,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,即,
,所以.
14. 若二项式的展开式中的常数项为m,则______.
参考答案:
124
15. 已知,则cos(30°﹣2α)的值为
.
参考答案:
【考点】二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数.
【分析】利用诱导公式求得sin(15°﹣α)=,再利用二倍角的余弦公式可得cos(30°﹣2α)=1﹣2sin2(15°﹣α),运算求得结果.
【解答】解:∵已知,
∴sin(15°﹣α)=,
则cos(30°﹣2α)=1﹣2sin2(15°﹣α)=,
故答案为.
16. 在中, 所对边分别为,若,则 .
参考答案:
17. 已知扇形的圆心角为,面积为则此扇形的周长为____________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求函数的单调区间及值域。
参考答案:
19. 在四边形ABCD中,||=12,||=5,||=10,||=||,在方向上的投影为8;
(1)求∠BAD的正弦值;
(2)求△BCD的面积.
参考答案:
解:(1)∵||=||,
∴以为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等,即为矩形
∴∠ADC=90°,--- ----(1分)
在Rt△ADC中,,,
∴,,,--(3分)
∵在方向上的投影为8,,
∴,---(5分)∵∠CAB∈(0,π),∴
∴sin∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC
==---(7分)
(2)∵=39,
?=30, sin∠BAD=---(11分)?
∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD=---(13分)
略
20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面和平面的夹角.
参考答案:
试题分析::(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面平行,需证线线平行,只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:(1)如图,以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则.
.
设平面的法向量为
即? 令
则.?
又平面平面
(2)底面是正方形,又平面
又,平面
向量是平面的一个法向量,又由(1)知平面的法向量. ?
二面角的平面角为.?
考点:(1)证明直线与平面平行;(2)利用空间向量解决二面角问题.
21. 如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A、B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C﹣ADE体积最大时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
参考答案:
【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此证明DE⊥平面ACD,从而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC…,
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…,
∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…
∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四边形,BC∥DE,
∴DE⊥平面ACD…,
∵DE?平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD…
(Ⅱ)依题意,…,
由(Ⅰ)知
=
=
,
当且仅当时等号成立 …
如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,1),, ,
∴,,
,…
设面DAE的法向量为,
,即,∴,…
设面ABE的法向量为,
,即,∴,
∴…
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补,
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为.? …
22. (本小题满分10分)
已知数列满足且
(1) 计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;
(2) 求证:当时,
参考答案:
.⑴,,,猜想:.……………………………2分
①当时,,结论成立;
?②假设当时,结论成立,即,
则当时,,
即当时,结论也成立,由①②得,数列的通项公式为.5分
⑵原不等式等价于.
证明:显然,当时,等号成立;
当时,
,
综上所述,当时,.…………………………………………………10分
略
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