单位文秘网 2021-07-18 08:08:23 点击: 次
摘要本文的第一部分应用数学期望的相关知识去解决高等数学中一些难以计算的积分问题以及无穷级数的求和问题,并将这些问题加以推广得到一般的计算公式。在本文的第二部分通过实例分析向读者介绍数学期望在实际问题中的应用。
关键词数学期望 积分的计算 无穷级数的求和 决策 最大利润
中图分类号:O211文献标识码:A
Application of Mathematics Expectation of Stochastic Variable
KOU Bingyu, TENG Xinghu
(Department of Applied Mathematics, Mathematics Department, Science School,
The PLA University of Technology, Nanjing, Jiangsu 211101)
AbstractIn the first part of this paper,the author will apply the knowledge which is relevant to the mathematics expectation to calculating a kind of integrations and infinte series.It is difficult to solve these questions ,if we use the methods of advanced mathematics.In the second part of the paper ,the author will illustrate the application of mathematics expectation in the real world by examples.
Key wordsmathematics expectation; calculation of integrations; the sum of infinte series; making decisions; the maximum of profit
英国逻辑学家和经济学家杰文斯曾说:“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为。”概率论这一数学分支也不负众望,在众多领域内扮演着越来越重要的角色,取得越来越广泛的应用。数学期望作为随机变量的一个重要的数字特征也有着其非常重要的意义,下面从基础应用性和实际应用性两个方面来向读者介绍随机变量的数学期望。
1 数学期望在高等数学的一些复杂计算中的应用
概率论与数理统计是高等数学的后继课程,其发展离不开高等数学的思想和方法。但是概率论与数理统计的思想也为解决高等数学中的一些复杂计算提供了事半功倍的途径。下面从两个实例出发,看看概率论的思想是如何解决高等数学中复杂的计算问题的?
1.1数学期望在积分计算中的应用
例1 计算积分
解:将被积函数整理得,联想到服从正态分布的随机变量的密度函数的形式,可以尝试将被积函数化成服从某一正态分布的密度函数的形式,这样本题事实上就转化为了计算随机变量的函数的数学期望的问题,从而使计算过程简单化。所以
其中,X~N(-2,),故E(X) = -2,D(X) = ,从而
E(X2) = D(X) + E2(X) =
所以根据数学期望的性质容易得到
E(2X2 + 4X + 5) = 2E(X2) + 4E(X) + 5 = 6
故
事实上,我们可以将这一方法推广到计算这类积分的一般形式,具体如下:
例2 计算积分
解:解:将被积函数整理得
其中,X~N(- ,),故E(X) = - ,D(X) = 从而
所以根据数学期望的性质容易得到
1.2数学期望在无穷级数求和中的应用
例3 求n2()n-1
解:在高等数学中这类无穷级数的求和也是非常麻烦的,但是如果我们在这里将概率论的思想引入的话就会将计算过程简单化。引入随机变量,设随机变量服从p = 的几何分布,即P{ = n} = ·()n-1,则E() == 5,
D() == 20,从而E(2) = D() + E2() = 45
又由于E(2) = n2··()n-1=n2·()n-1 = 45,
故n2()n-1 = 45€? = 225
同样,我们也可以将这一方法推广到计算这类无穷级数的和的一般形式,具体如下:
例4 求n2qn-1(其中0<q<1)
解:引入随机变量,设随机变量服从p = 1 - q的几何分布,即P{ = n} = p·qn-1,则E() = ,D() =,
从而E(2) = D() + E2() =
又由于随机变量的函数的数学期望的计算可知
E(2) = n2·p·qn-1= p n2·qn-1,
从而p n2·qn-1 = ,
故n2qn-1 ==
2 数学期望在实际问题中的应用
现实社会中具有很多的不确定因素,那么我们为了解决当前或未来可能发生的问题,在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳方案,这一过程就成为决策。因此,我们在决策分析过程中,需要进行缜密的逻辑思考,灵活运用概率论知识,这样就很容易解决一些实际的问题。然而随机变量的数学期望在我们的决策中又起到了至关重要的作用。下面,我们结合具体的实例来看看数学期望在我们实际生活中的应用。
2.1 数学期望在生活决策中的应用
现在我们来分析法院受理的一宗民事纠纷案例。 如若当事人将案件提交法院诉讼,当事人不仅仅要考虑胜诉的可能情况下所带来赔偿费用,还应考虑到所应承担的诉讼费。这里就涉及到我们的决策问题——理性的当事人往往权衡之后,做出决策:私下协商赔偿费用而趋于和解,免于起诉。
在下班交通高峰时段发生一起小型轿车追尾事故,事故造成乙车车主经济损失15万元,若将案件提交诉讼,诉讼费用共0.5万元,按双方所负责任的比例由双方共同承担。经事故现场的勘察分析,法院对事故的判决有三种可能性:
(1)甲车车主应承担100%的责任,赔偿乙15万元经济损失费,并支付全部的诉讼费。
(2)甲车车主应承担70%的责任,赔偿乙10.5万元经济损失费,且支付诉讼费3500元(全部诉讼费的70%),乙支付剩余30%的诉讼费1500元。
(3)甲乙两车车主各承担50%的责任,甲向乙赔偿7.5万元的经济损失费用,诉讼费由双方各承担一半。
乙车车主估计第(1)(2)(3)种情况发生的概率分别为,0.2,0.7 和0.1, 如果甲车主希望私下和解,他应至少给乙多少数额的赔偿费,才会使乙从经济收益上考虑而作出和解的决策?
解:要使乙车车主考虑和解,就要将甲车车主的赔偿金额与乙车车主上诉的情况下所得的期望收益进行比较,如果赔偿金额大于上诉时的期望收益,为了免于上诉麻烦,乙车主自然会考虑免于上诉,因此,本题就转化为了计算乙车车主的的期望收益问题,也即是要计算在上诉的情况下乙车主所获得的平均收益,即计算三种情况下收益的平均值,从而将这一决策问题转化为了计算数学期望的问题。引入随机变量X表示乙车主在上诉时可获得的收益(单位:万元),显然X为一离散型随机变量,结合题意,可得其分布律如下:
则乙车车主在上诉时获得的期望收益为:E(X) = 15€?.2+(10.5-0.8€?.3)€?.7 + (7.5-0.5€?.5)€?.1 = 10.97(万元)
因此,甲车车主至少应给乙车车主10.97万元,才会使乙车车主考虑做出和解的决策。
2.2数学期望在经济学中的应用
数学的发展离不开它在现实世界的应用。数学的严谨应和强大的应用性,使它与经济问题的解决有着密不可分的关系。下面我们用数学期望以及微积分的有关知识,来看看数学期望在经济决策中的应用,分析一下商家是如何制定销售方案以达到最大利润的。
例:市场上对某种商品每年的需求量X(吨)服从区间(2000,4000)上均匀分布,某一代理商进货数量为区间(2000,4000) 中的某一数值,代理商每销售一吨商品可获利3万元;若供大于求则打折处理,每处理一吨商品亏损1万元;若供不应求,则经调剂后仍可满足销售,但此时每吨商品仅获利2万元。这个代理商应如何确定进货量,才能使所获得的平均利润最大?
解:由于X是随机变量,在已知其概率分布的前提下构造利润函数(它是X的函数),根据期望利润最大,确定最佳进货量或最佳存储量,为随机存储决策提供了切实有效的数学模型。
设进货量为a吨,利润为Y万元 ,构造利润函数为
X的密度函数为
根据随机变量的函数的数学期望,得
因此,当a = 3000(吨)时,即进货量为3000吨时,可以获得最大利润8500万元。
通过本文的例子,我们看到数学期望不仅仅在高等数学的复杂计算中起到简化计算的强大作用,也看到了数学期望在我们现实生活中解决实际问题所发挥至关重要的决策作用,因此随机变量的这一数字特征无论是在学术上还是在生活中都为我们提供了极大的便利。
参考文献
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